Рациональное представление

а л г е бр а и ч е с к о й г р у п п ы G - линейное представление алгебраич. группы G над алгебраически замкнутым полем kв конечномерном векторном пространстве Vнад k, являющееся рациональным (и тем самым регулярным) гомоморфизмом группы Gв GL(V). Говорят также, что V - р а ц и о н а л ь н ы й G-м о д у л ь. Прямая сумма и тензорное произведение конечного числа Р. п. группы G являются Р. п.; подпредставление и факторпредставление нек-рого Р. п. являются Р. п.; симметрическая или внешняя степень любого Р. п. является Р. п.; представление, контрагредиентное к Р. п., является Р. п. Если G конечна, то всякое ее линейное представление будет Р. п. и теория Р. п. сливается с теорией представлений конечных групп. В наибольшей степени специфич. методы теории линейных алгебраич. групп используются при исследовании Р. п. в том случае, когда рассматриваемая группа связна, причем наиболее глубоко развита теория Р. п. связных полупростых алгебраич. групп. Далее G - такая группа. Пусть Т - ее максимальный тор, Х(T) - его группа рациональных характеров (записываемая аддитивно), S - система корней группы G относительно Т, W - ее группа Вейля. И пусть [img: http://localhost:8080/file/041872-23.jpg] есть Р. п. Ограничение представления j на Т разлагается в прямую сумму одномерных представлений, точнее [img: http://localhost:8080/file/041872-24.jpg] где Pj МX(T)-нек-рое множество характеров тора Т, называемых в е с а м и представления, а [img: http://localhost:8080/file/041872-25.jpg] Множество весов Р j инвариантно относительно W. Если char k=0, то всякое Р. п. группы G вполне приводимо, но если char k>0, то это уже не так (см. Мамфорда гипотеза). Однако при любой характеристике поля kимеется полное описание неприводимых Р. п. Пусть В- борелевская подгруппа в G, содержащая Т, и D - определяемая ею система простых корней в S. Группа X (B)рациональных характеров группы Вотождествляется с Х(T). В пространстве Vлюбого неприводимого Р. п. [img: http://localhost:8080/file/041872-26.jpg] существует единственное одномерное весовое подпространство V(dj), [img: http://localhost:8080/file/041872-27.jpg], инвариантное относительно группы В. Характер dj наз. с т а р ш и м в е с о м н е п р и в о д и м ог о Р. п. j; он доминантен, т. е. скалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/041872-28.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041872-29.jpg], а всякий другой вес [img: http://localhost:8080/file/041872-30.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041872-31.jpg] Отображение [img: http://localhost:8080/file/041872-32.jpg] определяет биекцию между классами эквивалентных неприводимых Р. п. и доминантными элементами из Х(Т). Явная конструкция всех неприводимых Р. п. может быть получена следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041872-33.jpg] - алгебра регулярных функций на G. Для любого [img: http://localhost:8080/file/041872-34.jpg] рассматривается подпространство [img: http://localhost:8080/file/041872-35.jpg] Оно конечномерно и является рациональным G-модулем относительно действия группы G левыми сдвигами. Геометрич. смысл этого пространства таков: оно канонически отождествляется с пространством регулярных сечений одномерного однородного векторного расслоения над G/B, определенного характером -c. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041872-36.jpg] - элемент, переводящий положительные корни в отрицательные. Тогда если [img: http://localhost:8080/file/041872-37.jpg], то c- доминантный характер и минимальный ненулевой G-подмодуль в [img: http://localhost:8080/file/041872-38.jpg] является неприводимым рациональным G-модулем со старшим весом c. Всякий неприводимый рациональный G-модуль получается при помощи такой конструкции. Если char k=0, то уже сам G-модуль [img: http://localhost:8080/file/041872-39.jpg] неприводим. Для получения неприводимых Р. п. часто используются упомянутые выше операции над Р. п. Напр., если ji-- неприводимое Р. п. со старшим весом ci, i=1,..., d, то нек-рое факторпредставление [img: http://localhost:8080/file/041872-40.jpg] является неприводимым Р. п. со старшим весом ci + +...+cd (оно наз. к а р т а н о в с к о й к о м п оз и ц и е й Р. п. j1,..., jd). Если j - неприводимое Р. п. со старшим весом c, то нек-рое факторпредставление [img: http://localhost:8080/file/041872-41.jpg] является неприводимым Р. п. со старшим весом dc, а j* - неприводимо и его старшим весом является - [img: http://localhost:8080/file/041872-42.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041872-43.jpg] - алгебра Ли группы G. Если [img: http://localhost:8080/file/041872-44.jpg] есть Р. п., то его дифференциал dj является представлением алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041872-45.jpg]. Р. и. j наз. инфинитезимально неприводимым, если dj - неприводимое представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/041872-46.jpg]. Инфинитезимально неприводимое Р. п. неприводимо, а в случае char k=0 верно и обратное (что в значительной степени сводит теорию Р. п. группы к теории представлений ее алгебры Ли), однако в случае char k>0 это уже не так. Инфинитезимально неприводимые Р. п. в этом случае - это в точности неприводимые Р. п. со старшими весами c, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041872-47.jpg] Более того, все неприводимые Р. п. могут быть построены при помощи Инфинитезимально неприводимых. Точнее, если G односвязна, т. е. если X(Т)совпадает с решеткой весов корневой системы S, то всякое неприводимое Р. п. однозначно разлагается в тензорное произведение вида [img: http://localhost:8080/file/041872-48.jpg] где ji0, j1..., jd Инфинитезимально неприводимы, а [img: http://localhost:8080/file/041872-49.jpg] - представление, полученное применением к матричным элементам представления ji автоморфизма Фробениуса [img: http://localhost:8080/file/041872-50.jpg]