Рациональное число

- число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю [img: http://localhost:8080/file/041872-51.jpg] наз. упорядоченная пара (а, b)целых чисел а и b, у к-рой b№0. Две рациональные дроби [img: http://localhost:8080/file/041872-52.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041872-53.jpg] наз. э к в и в а л е н т н ы м и (р а в н ы м и) тогда и только тогда, когда ad=bc. Это соотношение эквивалентности, будучи рефлексивно, симметрично и транзитивно, разбивает множество всех рациональных дробей на классы эквивалентности. Р а ц и он а л ь н ы м ч и с л о м наз. каждый класс эквивалентности рациональных дробей. Разные классы определяют разные Р. ч. Множество Р. ч. счетно. Р. ч., содержащее рациональную дробь вида [img: http://localhost:8080/file/041872-54.jpg], наз. н у л е м. Если r есть Р. ч. и [img: http://localhost:8080/file/041872-55.jpg], то Р. ч., содержащее рациональную дробь [img: http://localhost:8080/file/041872-56.jpg], наз. рациональным числом, противоположным Р. ч. r, и обозначается через - r. Р. ч. r наз. п о л о ж и т е л ь н ы м (о т р и ц а т е л ьн ы м), если оно содержит рациональную дробь [img: http://localhost:8080/file/041872-57.jpg], у к-рой аи dодного знака (разных знаков). Если Р. ч. положительно (отрицательно), то противоположное ему число отрицательно (положительно). В множестве Р. ч. вводится упорядоченность: всякое отрицательное Р. ч. считается меньшим всякого положительного, положительное Р. ч. r' считается меньшим положительного Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-58.jpg], если существуют такие рациональные дроби [img: http://localhost:8080/file/041872-59.jpg], что ad<bc;всякое отрицательное (положительное) Р. ч. r считается меньше (больше) нуля: r<0 (r>0); отрицательное Р. ч. r' считается меньшим отрицательного Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-60.jpg], если положительное Р. ч.-- r' больше положительного Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-61.jpg]. Абсолютная величина [img: http://localhost:8080/file/041872-62.jpg] Р. ч. определяется как обычно: [img: http://localhost:8080/file/041872-63.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041872-64.jpg], если r<0. Суммой рациональных дробей [img: http://localhost:8080/file/041872-65.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041872-66.jpg] наз. рациональная дробь [img: http://localhost:8080/file/041872-67.jpg], а произведением [img: http://localhost:8080/file/041872-68.jpg]. С у мм о й и п р о и з в е д е н и е м Р. ч. r' и r" наз. классы эквивалентных рациональных дробей, содержащие соответственно сумму или произведение рациональных дробей [img: http://localhost:8080/file/041872-69.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041872-70.jpg], принадлежащих r' и r": [img: http://localhost:8080/file/041872-71.jpg]. Упорядоченность, сумма и произведение Р. ч. r' и r" не зависят от выбора представителей в соответствующих классах эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/041872-72.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041872-73.jpg], т. е. однозначно определяются самими Р. ч. r' и r". Р. ч. образуют упорядоченное поле, обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/041872-74.jpg]; Для обозначения Р. ч. rприменяются рациональные дроби [img: http://localhost:8080/file/041872-75.jpg] ия класса эквивалентности, задающего это число: [img: http://localhost:8080/file/041872-76.jpg]. Таким образом, одно и то же Р. ч. может быть записано разными, но эквивалентными рациональными дробями. Если каждому Р. ч., содержащему рациональную дробь вида [img: http://localhost:8080/file/041872-77.jpg], поставить в соответствие целое число а, то получится изоморфное отображение множества указанных Р. ч. на кольцо [img: http://localhost:8080/file/041872-78.jpg] целых чисел. Поэтому Р. ч., содержащие рациональные дроби вида [img: http://localhost:8080/file/041872-79.jpg], обозначают через а. Всякая функция вида [img: http://localhost:8080/file/041872-80.jpg] (1) является метрикой в поле Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-81.jpg], то есть удовлетворяет условиям: [img: http://localhost:8080/file/041872-82.jpg] при любых [img: http://localhost:8080/file/041872-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041872-84.jpg]. Поле Р. ч. не является полным в метрике (1). Пополнением поля Р. ч. по метрике (1) является поле действительных чисел. Функция [img: http://localhost:8080/file/041872-85.jpg] (2) где р - простое число, r-Р. ч., представимое в виде [img: http://localhost:8080/file/041872-86.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041872-87.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/041872-88.jpg] - несократимая рациональная дробь, причем числа аи bне делятся на p), а r - фиксированное число, 0<r<1, также является метрикой в поле Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-89.jpg]. Она наз. р-а д и ч е с к о й м е т р и к о й. Поле Р. ч. [img: http://localhost:8080/file/041872-90.jpg] с метрикой (2) не является полным. Пополнением поля Р. ч. по метрике (2) является поле р-адических чисел. Метрики (1) и (2) (для всех простых чисел) исчерпывают все нетривиальные метрики в поле Р. ч. В десятичной записи Р. ч. и только они представимы периодическими десятичными дробями.