Редуктивное пространство

такое однородное пространство G/Hсвязной группы Ли G, что в алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/041874-100.jpg] группы G существует [img: http://localhost:8080/file/041874-101.jpg] (H)-инвариантное подпространство, дополнительное к подалгебре [img: http://localhost:8080/file/041874-102.jpg], являющейся алгеброй Ли группы H. Выполнение любого из следующих условий достаточно для того, чтобы однородное пространство G/Hбыло Р. п.: 1) линейная группа [img: http://localhost:8080/file/041874-103.jpg] (Н)вполне приводима, 2) на [img: http://localhost:8080/file/041874-104.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/041874-105.jpg] (H)-инвариантная билинейная форма, сужение к-рой на [img: http://localhost:8080/file/041874-106.jpg] невырождено. В частности, всякое однородное риманово пространство является Р. п. Если M=G/H- Р. п. и группа G действует эффективно на М, то линейное представление изотропии группы Нв касательном пространстве М 0 к многообразию Мв точке [img: http://localhost:8080/file/041874-107.jpg] точно. С каждым [img: http://localhost:8080/file/041874-108.jpg] инвариантным подпространством [img: http://localhost:8080/file/041874-109.jpg], дополнительным к [img: http://localhost:8080/file/041874-110.jpg], связаны две важные G-инвариантные аффинные связности на М:. к а н о н и ч е с к а я с в я зн о с т ь и е с т е с т в е н н а я с в я з н о с т ь б е з к р у ч е н и я. Канонич. связность на Р. п. M=G/H с фиксированным [img: http://localhost:8080/file/041874-111.jpg] -инвариантным разложением [img: http://localhost:8080/file/041874-112.jpg] - единственная G-инвариантная аффинная связность на М, обладающая тем свойством, что для любого вектора [img: http://localhost:8080/file/041874-113.jpg] и любого репера ив точке o кривая (exp tX)uв главном расслоении реперов над Мгоризонтальна. Канонич. связность полна и множество се геодезических, проходящих через точку о, совпадает с множеством кривых вида (exp tX) о, где [img: http://localhost:8080/file/041874-114.jpg] После естественного отождествления пространств [img: http://localhost:8080/file/041874-115.jpg] и М 0 тензор кривизны Rи тензор кручения Тканонич. связности определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/041874-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041874-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041874-118.jpg], где X, Y, [img: http://localhost:8080/file/041874-119.jpg], а через [img: http://localhost:8080/file/041874-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041874-121.jpg] обозначены проекции вектора [img: http://localhost:8080/file/041874-122.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041874-123.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041874-124.jpg] соответственно. Тензорные поля Rи Тпараллельны относительно канонич. связности так же, как и любое другое G-инвариантное тензорное поле на М. Алгебра Ли линейной группы голономии (см. Голономии группа).канонич. связности на Mс опорной точкой опорождается множеством [img: http://localhost:8080/file/041874-125.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041874-126.jpg], где l - линейное представление изотропии алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041874-127.jpg] в пространстве М 0. Всякое связное односвязное многообразие, снабженное полной аффинной связностью с параллельными полями кривизны и кручения, может быть представлено в виде Р. п., канонич. связность к-рого совпадает с заданной аффинной связностью. На Р. п. M=G/Hс фиксированным [img: http://localhost:8080/file/041874-128.jpg] -инвариантным разложением [img: http://localhost:8080/file/041874-129.jpg] существует единственная G-инвариантная аффинная связность с нулевым кручением, имеющая те же геодезические, что и канонич. связность. Эта связность наз. естественной с в я з н о с т ь ю б е з к р у ч ен и я на М(относительно разложения [img: http://localhost:8080/file/041874-130.jpg]). Однородное риманово или псевдориманово пространство M=G/Hназ. е с т е с т в е н н о р е д у к т и в н ы м, если оно допускает такое [img: http://localhost:8080/file/041874-131.jpg] -инвариантное разложение [img: http://localhost:8080/file/041874-132.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041874-133.jpg] (*) для всех [img: http://localhost:8080/file/041874-134.jpg], где В - невырожденная симметрическая билинейная форма на m, индуцированная римановой (псевдоримановой) структурой на Мпри естественном отождествлении пространств [img: http://localhost:8080/file/041874-135.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041874-136.jpg]. Если M=G/H- естественно редуктивное риманово или псевдориманово пространство с фиксированным [img: http://localhost:8080/file/041874-137.jpg] инвариантным разложением [img: http://localhost:8080/file/041874-138.jpg], удовлетворяющим условию (*), то естественная связность без кручения совпадает с соответствующей римановой или псевдоримановой связностью на М. Если М - одно-связное естественно редуктивное однородное риманово пространство и [img: http://localhost:8080/file/041874-139.jpg] - его разложение де Рама, то Мможет быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/041874-140.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041874-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041874-142.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041874-143.jpg] Важным обобщением Р. п. являются v-редуктивные однородные пространства [4]. Однородное пространство [img: http://localhost:8080/file/041874-144.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/041874-145.jpg] -р е д у к т и в н ы м, если его стационарная подалгебра [img: http://localhost:8080/file/041874-146.jpg] допускает разложение в прямую сумму подпространств [img: http://localhost:8080/file/041874-147.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041874-148.jpg], причем в [img: http://localhost:8080/file/041874-149.jpg] существует такое дополнительное к [img: http://localhost:8080/file/041874-150.jpg] подпространство [img: http://localhost:8080/file/041874-151.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041874-152.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041874-153.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041874-154.jpg]. При этом 1-редуктивные однородные пространства - это в точности Р. п.; примерами 2-редуктивных однородных пространств являются проективное и конформное пространства, на к-рых действуют группа проективных преобразований и группа конформных преобразований соответственно. Если [img: http://localhost:8080/file/041874-155.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/041874-156.jpg] -редуктивное однородное пространство и [img: http://localhost:8080/file/041874-157.jpg], то линейное представление изотропии алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041874-158.jpg] не является точным (так как [img: http://localhost:8080/file/041874-159.jpg] при i>l) и, следовательно, на Мне существует G-инвариантной аффинной связности. Однако на [img: http://localhost:8080/file/041874-160.jpg] -ре-дуктивном однородном пространстве существует каноническая G-инвариантная связность, слоем к-рой является однородное пространство нек-рой транзитивно-дифференциальной группы порядка [img: http://localhost:8080/file/041874-161.jpg] (см. [4]). Наряду с Р. п. рассматриваются также ч а с т и ч н о р е д у к т и в н ы е п р о с т р а н с т в а, т. е. такие однородные пространства [img: http://localhost:8080/file/041874-162.jpg], что существует разложение алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041874-163.jpg] в прямую сумму двух ненулевых [img: http://localhost:8080/file/041874-164.jpg] -инвариантных подпространств, одно из к-рых содержит подалгебру [img: http://localhost:8080/file/041874-165.jpg] (см. [5]).