Резольвента

- 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п - алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f(x)=0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших п. Иногда Р. называют само рациональное выражение [img: http://localhost:8080/file/041875-9.jpg] Пусть f(x) - сепарабельный многочлен над полем kс группой Галуа Gи H - нормальный делитель группы G. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041875-10.jpg] - рациональное выражение от x1,..., х п, остающееся инвариантным при всех подстановках корней х 1,..., х п из группы Н, и [img: http://localhost:8080/file/041875-11.jpg] Тогда уявляется корнем нек-рого уравнения g(y) =0с коэффициентами из k, группа Галуа к-рого является собственной факторгруппой группы G. Таким образом, решение уравнения f(x)=0 сводится к решению уравнения g(y)=0 и решению уравнения f(x)=0 над полем k(y1,..., ys). Напр., для решения уравнения 4-й степени [img: http://localhost:8080/file/041875-12.jpg] (любое уравнение 4-й степени приводится к такому виду) используют кубич. Р. [img: http://localhost:8080/file/041875-13.jpg] корни к-рой y1, y2, y3 связаны с корнями х 1, x2, х 3, x4 соотношениями. [img: http://localhost:8080/file/041875-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041875-15.jpg]. Корни y1, y2, y3 определяются с помощью формулы Кардано, что позволяет определить и корни х 1, х2, x3, x,4. Последовательное применение метода Р. позволяет свести решение любого уравнения с разрешимой группой Галуа к решению цепочки уравнений с циклич. группой Галуа. Для решения последних используются резольвенты Лагранжа. Пусть f(х)=0 - уравнение над полем kс циклич. группой Галуа G порядка пи пусть kсодержит первообразный корень из единицы [img: http://localhost:8080/file/041875-16.jpg] степени п. Для элемента a, принадлежащего нолю разложения многочлена f(x), и характера c группы G в группу корней из единицы степени n р е з о л ь в е н т а Лагранжа r (c, a) определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041875-17.jpg] (*) Пусть a=x1- один из корней многочлена f(х)и c пробегает все характеры группы G. Тогда система линейных уравнений (*) позволяет определить корни x1, x2,..., х п, если известны резольвенты Лагранжа для всех характеров c группы G. Для [img: http://localhost:8080/file/041875-18.jpg] выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/041875-19.jpg] к-рое показывает, что элементы [img: http://localhost:8080/file/041875-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041875-21.jpg] при любом целом iинвариантны относительно G и, следовательно, являются однозначно определенными рациональными выражениями от коэффициентов многочлена f (х)и корня [img: http://localhost:8080/file/041875-22.jpg]. Если c порождает группу характеров группы G, то имеют место равенства [img: http://localhost:8080/file/041875-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041875-24.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041875-25.jpg] Р е з о л ь в е н т о й Г а л у а уравнения f(x)=0наз. такое неприводимое над данным полем алгебраич. уравнение у(х)=0(см. Галуа теория), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f(x)= 0.