Резонансные члены

те члены [img: http://localhost:8080/file/041875-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041875-47.jpg] ряда Тейлора - Фурье (1) [img: http://localhost:8080/file/041875-48.jpg] у к-рых показатели Ри Qудовлетворяют линейному соотношению вида [img: http://localhost:8080/file/041875-49.jpg] (2) Здесь [img: http://localhost:8080/file/041875-50.jpg] - постоянные коэффициенты, [img: http://localhost:8080/file/041875-51.jpg] - скалярное произведение Qи Y;постоянные [img: http://localhost:8080/file/041875-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041875-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041875-54.jpg] - обычно собственные значения и базис частот нек-рой системы обыкновенных дифференциальных уравнений; константа сне зависит от Ри Q, она определяется ролью ряда (1) в рассматриваемой задаче. Если в линейной системе [img: http://localhost:8080/file/041875-55.jpg] (3) все lj чисто мнимые и в (2) с=0, то сумма Р. ч. ряда (1) совпадает с осреднением этого ряда вдоль решений системы (3). Систему обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности нек-рых инвариантных многообразий можно привести к нормальной форме, в к-рой ряды содержат только Р. ч. (см. [1]). Так, для гамильтоновой системы в окрестности неподвижной точки гамильтониан может быть приведен к виду (1), где п=0, и выполнено (2) с с=0, причем [img: http://localhost:8080/file/041875-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041875-57.jpg] - вектор из собственных значений линеаризованной системы (см. [2]). В этом случае иногда члены с [img: http://localhost:8080/file/041875-58.jpg], наз. в е к о в ы м и (для них (2) выполняется тривиально), а резонансными наз. остальные члены ряда (1), для к-рых выполнено (2). Выделение Р. ч., производимое в задачах с малым параметром, зачастую также может быть обосновано с помощью нормальной формы (см. [1]). Для точечного преобразования с мультипликаторами (m1,..., mm)=M показатели Р. ч. ряда (1) с n= 0 удовлетворяют соотношению Mp=1, если положить [img: http://localhost:8080/file/041875-59.jpg] и w1=1, то получится соотношение (2) с с=0.