Результант

м н о г о ч л е н о в f(x)и g(x)- элемент поля Q, определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/041875-60.jpg] (1) где Q - поле разложения многочлена [img: http://localhost:8080/file/041875-61.jpg] - корни многочленов [img: http://localhost:8080/file/041875-62.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041875-63.jpg] соответственно. Если [img: http://localhost:8080/file/041875-64.jpg], то многочлены тогда и только тогда имеют хотя бы один общий корень, когда их Р. равен нулю. Имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041875-65.jpg] Р. можно записать в любом из следующих видов: [img: http://localhost:8080/file/041875-66.jpg] (2) [img: http://localhost:8080/file/041875-67.jpg] (3) Выражения (1), (2) и (3) неудобны для вычисления P., так как они содержат корни многочленов. Через коэффициенты многочленов Р. можно выразить в виде следующего определителя порядка n+s: [img: http://localhost:8080/file/041875-68.jpg] (4) Этот определитель в первых s строках содержит коэффициенты многочлена f(х), в последних пстроках - коэффициенты многочлена g(x), а на свободных местах - нули. Р. многочленов f(x)и g(x)с числовыми коэффициентами можно представить в виде определителя порядка п(или s). Для этого находят остаток от деления [img: http://localhost:8080/file/041875-69.jpg] на f(x), k =0,1, 2,..., n- 1. Пусть это будет [img: http://localhost:8080/file/041875-70.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/041875-71.jpg] Дискриминант D(f)многочлена [img: http://localhost:8080/file/041875-72.jpg] выражается через Р. многочлена f(x)и его производной f' (х)следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041875-73.jpg] П р и м е н е н и е к р е ш е н и ю с и с т е м у р а в н е н и й. Пусть дана система двух алгебраич. уравнений с коэффициентами из поля Р: [img: http://localhost:8080/file/041875-74.jpg] (5) Многочлены f и gзаписывают по степеням х: [img: http://localhost:8080/file/041875-75.jpg] и по формуле (4) вычисляют Р. этих многочленов как многочленов от х. Получается многочлен, зависящий только от у: [img: http://localhost:8080/file/041875-76.jpg] Говорят, что многочлен F(у)получен путем исключения хиз многочленов f (х, у)и g(х, у). Если х=a, y= b- решение системы (5), то F(b)=0, и обратно, если F(b)=0, то или многочлены f(x,b), g(x,b) имеют общий корень (к-рый надо искать как корень их наибольшего общего делителя), или [img: http://localhost:8080/file/041875-77.jpg]. Тем самым решение системы (5) сводится к вычислению корней многочлена F(у)и общих корней многочленов f (х,b), g(x,b) с одним неизвестным. Аналогично можно решать и системы уравнений с любым числом неизвестных, но эта задача приводит к весьма громоздким вычислениям (см. также Исключения теория).