Релаксации метод

, ослабления м е т о д,- метод итерационного решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, элементарный шаг к-рого состоит в изменении только одной компоненты вектора неизвестных, причем номера изменяемых компонент выбираются в нек-ром циклич. порядке. Наиболее часто Р. м. используется для решения систем с положительно определенной матрицей А. Если изменение одной компоненты вектора неизвестных [img: http://localhost:8080/file/041876-55.jpg] осуществляется так, что для нового приближения [img: http://localhost:8080/file/041876-56.jpg] квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/041876-57.jpg] минимизируется, то Р. м. наз. м е т о д о м п о л н о й р е л а к с а ц и и. Если же за один элементарный шаг значение квадратичной формы лишь уменьшается, но не минимизируется, то Р. м. наз. м е т о д о м н е п о лн о й р е л а к с а ц и и. Наиболее полно исследован м е т о д п о с л е д ов а т е л ь н о й в е р х н е й р е л а к с а ц и и, когда матрица Аобладает т. н. свойством (А) и согласованно упорядочена. Матрица Аназ. матрицей, обладающей с в о й с т в о м (А), если существует матрица перестановок Ртакая, что матрица РАР Т имеет форму [img: http://localhost:8080/file/041876-58.jpg], где D1 и D2 - квадратные диагональные матрицы. Итерационная схема P.м. имеет следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/041876-59.jpg] где w - параметр релаксации, D - диагональная, L - нижняя треугольная и U - верхняя треугольная матрицы из разложения A=D+L+U. Если w>1, то метод наз. м е т о д о м в е р х н е й р е л а к с а ц и и (с в е р х р е л а к с а ц и и), если [img: http://localhost:8080/file/041876-60.jpg] -м е т о д о м н и ж н е й р е л а к с а ц и и. Параметр w выбирается из условия минимизации спектрального радиуса матрицы Sперехода от итерации к итерации: [img: http://localhost:8080/file/041876-61.jpg] Если А - симметричная матрица с положительными диагональными элементами и li- корни детерминантного уравнения [img: http://localhost:8080/file/041876-62.jpg], то оптимальное значение параметра w дается формулой [img: http://localhost:8080/file/041876-63.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041876-64.jpg] Для w= w0 спектральный радиус матрицы S равен [img: http://localhost:8080/file/041876-65.jpg] Рассмотрены случаи, когда нек-рые li комплексны. Разработаны методы блочной релаксации.