Релаксационное колебание

- периодический процесс, при к-ром медленное, плавное изменение состояния объекта в течение конечного промежутка времени чередуется с быстрым, скачкообразным изменением его состояния за бесконечно малое время. Такие колебательные процессы наблюдаются во многих реальных механических, радиотехнических, биологических и др. объектах (см., напр., [1]-[3]). Математич. моделью, описывающей Р. к., являются автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнении с малым параметром при части производных: [img: http://localhost:8080/file/041876-66.jpg] (1) Периодическое по времени tрешение такой системы и наз. р е л а к с а ц и о н н ы м к о л е б а н и е м. Классич. примером системы с одной степенью свободы, имеющей Р. к., служит Ван дер Поля уравнение [img: http://localhost:8080/file/041876-67.jpg] (2) при больших положительных значениях параметра l(с этой точки зрения уже значение l= 10 можно считать большим). Если положить [img: http://localhost:8080/file/041876-68.jpg] то уравнение (2) приводится к системе типа (1): [img: http://localhost:8080/file/041876-69.jpg] Вопрос о существовании и числе Р. к. системы (1) решается в терминах в ы р о ж д е н н о й с и с т е м ы [img: http://localhost:8080/file/041876-70.jpg] (3) являющейся гибридной системой уравнений. Траектории системы (3) в фазовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041876-71.jpg] естественно трактовать как пределы фазовых траекторий н е в ы р о ж д е н н о й с и с т е м ы (1) при [img: http://localhost:8080/file/041876-72.jpg] В частности, траектория Р. к. системы (1) при [img: http://localhost:8080/file/041876-73.jpg] стремится к замкнутой траектории системы (3), состоящей из чередующихся участков двух типов: участков, проходимых фазовой точкой системы (3) за конечное время (каждый из них лежит на поверхности f(x, y)=0), и участков, проходимых фазовой точкой системы (3) мгновенно (каждый из них начинается в т о чк е с р ы в а, т. е. в точке, где [img: http://localhost:8080/file/041876-74.jpg] лежит в плоскости, параллельной [img: http://localhost:8080/file/041876-75.jpg] ', и кончается на поверхности [img: http://localhost:8080/file/041876-76.jpg]). Решение системы (3), соответствующее такой замкнутой траектории, наз. р а з р ы вн ы м п е р и о д и ч е с к и м р е ш е н и е м, а потому Р. к. системы (1) часто наз. п е р и о д и ч е с к и м р е ш е н и е м, б л и з к и м к р а з р ы в н о м у, или даже просто р а з р ы в н ы м к о л е б а н и е м. (Система (3) может иметь замкнутую траекторию, целиком лежащую на поверхности [img: http://localhost:8080/file/041876-77.jpg] и не проходящую через точки срыва. В таком случае система (1) имеет близкую к ней замкнутую траекторию, однако соответствующее ей периодич. решение системы (1) не будет Р. к.; см. [6].) Важной задачей является асимптотич. (при [img: http://localhost:8080/file/041876-78.jpg]) вычисление фазовой траектории Р. к. системы (1), а также получение асимптотич. формул для характеристик этого колебания - его периода, амплитуды и т. д. Вычисление траектории Р. к. уравнения Ван дер Поля (2) проводил А. А. Дородницын [7], построивший асимптотич. приближения при [img: http://localhost:8080/file/041876-79.jpg] для амплитуды [img: http://localhost:8080/file/041876-80.jpg] и для периода (см. также [8]) [img: http://localhost:8080/file/041876-81.jpg] В случае системы (1) 2-го порядка (т. е. при k=m=1) с точками срыва общего положения проблема асимптотич. вычисления Р. к. решена полностью [9]. В частности, выяснена структура асимптотич. разложения при [img: http://localhost:8080/file/041876-82.jpg] 0 периода Р. к.: где [img: http://localhost:8080/file/041876-83.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/041876-84.jpg] - коэффициенты, эффективно вычисляемые непосредственно по функциям [img: http://localhost:8080/file/041876-85.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041876-86.jpg] (см. [10]). Для общей системы (1) произвольного порядка остается (1983) не перекрытым результат Л. С. Понтрягина и Е. Ф. Мищенко, вычисливших асимптотику Р. к. с точностью до [img: http://localhost:8080/file/041876-87.jpg] (см. [11], [12], [9]). Изучался также вопрос о периодич. решениях типа Р. к. неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напр., [13]).