Рефлективная подкатегория

подкатегория, содержащая "наибольшую" модель любого объекта категории. Точнее, полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/041877-118.jpg] категории [img: http://localhost:8080/file/041877-119.jpg] наз. р е ф л е к т и в н о й, если [img: http://localhost:8080/file/041877-120.jpg] содержит [img: http://localhost:8080/file/041877-121.jpg] -рефлектор (см. Рефлектор).для любого объекта категории. Полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/041877-122.jpg] категории [img: http://localhost:8080/file/041877-123.jpg] рефлективна тогда и только тогда, когда функтор вложения [img: http://localhost:8080/file/041877-124.jpg] обладает сопряженным слева функтором [img: http://localhost:8080/file/041877-125.jpg] Функтор Sсопоставляет каждому объекту Аиз [img: http://localhost:8080/file/041877-126.jpg] его [img: http://localhost:8080/file/041877-127.jpg] -рефлектор S(А);морфизмы [img: http://localhost:8080/file/041877-128.jpg], входящие в определение [img: http://localhost:8080/file/041877-129.jpg] -рефлектора, определяют естественное преобразование тождественного функтора [img: http://localhost:8080/file/041877-130.jpg] в композицию функторов [img: http://localhost:8080/file/041877-131.jpg]. Двойственным к понятию Р. п. является понятие корефлективной подкатегории Р. п. [img: http://localhost:8080/file/041877-132.jpg] наследует многие свойства объемлющей категории [img: http://localhost:8080/file/041877-133.jpg]. Напр., морфизм [img: http://localhost:8080/file/041877-134.jpg] тогда и только тогда является мономорфизмом в [img: http://localhost:8080/file/041877-135.jpg], когда он мономорфизм в [img: http://localhost:8080/file/041877-136.jpg]. Поэтому всякая Р. п. локально малой слева категории локально мала слева. Р. п. обладает произведениями тех семейств объектов, для к-рых произведение существует в самой категории, при этом оба произведения оказываются изоморфными. То же самое справедливо и для любых пределов. С другой стороны, функтор Sпереводит копределы из [img: http://localhost:8080/file/041877-137.jpg] в копределы в [img: http://localhost:8080/file/041877-138.jpg]. Поэтому Р. п. полной (слева) категории является полной (слева) категорией. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041877-139.jpg] - полная локально малая категория. Всякая полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/041877-140.jpg] категории [img: http://localhost:8080/file/041877-141.jpg], замкнутая относительно произведений и подобъектов своих объектов и содержащая правый нуль, является Р. п. В частности, всякое многообразие категории [img: http://localhost:8080/file/041877-142.jpg] есть Р. п. [img: http://localhost:8080/file/041877-143.jpg] -рефлектор произвольного объекта Астроится следующим образом. Выбираются представители [img: http://localhost:8080/file/041877-144.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041877-145.jpg], таких факторобъектов объекта А, что [img: http://localhost:8080/file/041877-146.jpg] П роизведение [img: http://localhost:8080/file/041877-147.jpg] принадлежит [img: http://localhost:8080/file/041877-148.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041877-149.jpg] -рефлектор S(A)является образом однозначно определенного морфизма [img: http://localhost:8080/file/041877-150.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041877-151.jpg] П р и м е р ы. 1) Пусть R - область целостности. Полная подкатегория инъективных модулей без кручения является Р. п. категории R-модулей без кручения: рефлекторами являются инъективные оболочки модулей. В частности, подкатегория полных абелевых групп без кручения есть Р. п. категории абелевых групп без кручения. 2) Полная подкатегория нормальных топологич. пространств есть Р. п. категории вполне регулярных топологич. пространств: рефлекторы строятся с помощью компактификации Чеха. 3) Полная подкатегория пучков есть Р. п. категории предпучков: рефлекторы определяются функтором ассоциированного пучка. М. Ш. Цаленко.