Римана интеграл

- обобщение понятия Коши интеграла на нек-рый класс разрывных функций, введенное Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Пусть функция f (х)задана на отрезке [ а, b]и [img: http://localhost:8080/file/041879-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041879-14.jpg]. Сумму вида [img: http://localhost:8080/file/041879-15.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041879-16.jpg], наз. и н т е г р а л ь н о й с у м м о й, отвечающей данному разбиению отрезка [а, b] точками xi и выбору точек [img: http://localhost:8080/file/041879-17.jpg]. Число I наз. пределом интегральных сумм (1) при [img: http://localhost:8080/file/041879-18.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041879-19.jpg], если для любого e>0 найдется d.>0 такое, что при [img: http://localhost:8080/file/041879-20.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/041879-21.jpg]. Если существует конечный предел I интегральных сумм при [img: http://localhost:8080/file/041879-22.jpg], то функцию f(х). наз. и н т е г р и р у е м о й в с м ы с л е Р и м а н а на отрезке [а, b]при а<b, а указанный предел - о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м Р и м а н а от функции f (х). по отрезку [а, b]и обозначают [img: http://localhost:8080/file/041879-23.jpg] (2) При а= b, по определению, полагают [img: http://localhost:8080/file/041879-24.jpg] а при а>b определяют интеграл (2) с помощью равенства [img: http://localhost:8080/file/041879-25.jpg] Необходимым и достаточным условием интегрируемости f(x)на [а, b] в смысле Римана являются ограниченность f(x)на этом отрезке и равенство нулю Лебега меры множества всех точек разрыва f(х), содержащихся на [ а, b]. С в о й с т в а Р. и. 1) Всякая интегрируемая по Риману на отрезке [ а, b]функция f(x)ограничена на этом отрезке (обратное неверно: примером ограниченной и неинтегрируемой на [а, b] функции служит Дирихле функция). 2) Л и н е й н о е с в о й с т в о: для любых постоянных a и b из интегрируемости на [ а, b]каждой из функций f (х)и g(x)следуют интегрируемость на этом отрезке функции [img: http://localhost:8080/file/041879-26.jpg] и равенство [img: http://localhost:8080/file/041879-27.jpg] 3) Из интегрируемости на отрезке [ а, b]каждой из функций f (х)и g(x)следует интегрируемость на этом отрезке произведения f(x)g(x). 4) А д д и т и в н о с т ь: из интегрируемости функции f(x)на каждом из отрезков [а, с]и [ с, b]следуют интегрируемость f(x)на отрезке [а, b] в равенство [img: http://localhost:8080/file/041879-28.jpg] 5) Если функции f(x)и g(x) интегрируемы на [а, b]и если [img: http://localhost:8080/file/041879-29.jpg] всюду на этом отрезке, то [img: http://localhost:8080/file/041879-30.jpg] 6) Из интегрируемости на [ а, b]функции f(x)следуют интегрируемость на этом отрезке функции фf(х)фи справедливость оценки [img: http://localhost:8080/file/041879-31.jpg] 7) Ф о р м у л а с р е д н е г о з н а ч е н и я: если функции f(х)и g(x)интегрируемы на [ а, b], функция g(x)неотрицательна или неположительна всюду на этом отрезке, а Ми т - точные верхняя и нижняя грани f(x)на [а, b], то найдется число m из отрезка [img: http://localhost:8080/file/041879-32.jpg] такое, что справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/041879-33.jpg] (3) Если, кроме того, функция f(x)непрерывна на [ а, b], то на этом отрезке найдется точка [img: http://localhost:8080/file/041879-34.jpg] такая, что в формуле (3) [img: http://localhost:8080/file/041879-35.jpg] 8) В т о р а я ф о р м у л а с р е д н е г о з н а ч ен и я (ф о р м у л а Б о н н е): если функция f (х)интегрируема на [ а, b], а функция g(x)монотонна на этом отрезке, то найдется точка [img: http://localhost:8080/file/041879-36.jpg] на [ а, b]такая, что справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/041879-37.jpg]