Римана метод

, " Р и м а н а - В о л ь т е р р а м е т о д,- метод решения Гурса задачи и Коши задачи для линейных гиперболич. типа уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными [img: http://localhost:8080/file/041879-38.jpg] (1) В P.M. фундаментальную роль играет ф у н к ц и я Р и м а н а [img: http://localhost:8080/file/041879-39.jpg], к-рая при определенных предположениях относительно заданных функций а, b, с и f однозначно определяется как решение специальной задачи Гурса: [img: http://localhost:8080/file/041879-40.jpg] для сопряженного уравнения [img: http://localhost:8080/file/041879-41.jpg] Функция Rпо переменным [img: http://localhost:8080/file/041879-42.jpg] является решением однородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/041879-43.jpg] При а= b= 0, c= const функция [img: http://localhost:8080/file/041879-44.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041879-45.jpg] - функция Бесселя порядка нуль. Функцию Римана можно определить как решение нагруженного интегрального уравнения Вольтерра: [img: http://localhost:8080/file/041879-46.jpg] (2) Р. м. решения задачи Гурса реализуется следующим образом: для любой дифференцируемой до соответствующего порядка функции и = и(х, у)имеет место тождество [img: http://localhost:8080/file/041879-47.jpg] из к-рого интегрированием по частям получается, что любое решение иуравнения (1) представляет собой решение нагруженного интегрального уравнения: [img: http://localhost:8080/file/041879-48.jpg] (3) Из (3) непосредственно вытекает корректность задачи Гурса [img: http://localhost:8080/file/041879-49.jpg] для уравнения (1). Р. м. приводит решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными на любой гладкой нехарактеристич. кривой к нахождению функции Римана и дает возможность в квадратурах выписать решение этой задачи. Р. м. обобщен на широкий класс линейных гиперболич. уравнений и систем. Для случая гиперболич. типа системы линейных уравнений с частными производными 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041879-50.jpg] где а, b, с - заданные действительные квадратные симметрич. матрицы порядка [img: http://localhost:8080/file/041879-51.jpg] - заданный, а [img: http://localhost:8080/file/041879-52.jpg] - искомый векторы, м а т р и ц а Р и м а н а однозначно определяется как решение системы нагруженных интегральных уравнений Вольтерра вида (2), в правой части к-рой стоит единичная матрица I порядка т. В. Вольтерра (V. Volterra) впервые обобщил Р, м. на волновое уравнение [img: http://localhost:8080/file/041879-53.jpg] (4) Роль функции Римана, позволяющей выписать в квадратурах решение задачи Коши с начальными данными на плоскости t=const и задачи Гурса с данными на характеристич. конусе для уравнения (4), играет функция [img: http://localhost:8080/file/041879-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041879-55.jpg] Метод предложен Б. Риманом (В. Riemann, 1860).