Римана сфера

- сфера в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041879-67.jpg] (x, h, t), на к-рую расширенная комплексная плоскость [img: http://localhost:8080/file/041879-68.jpg] отображается взаимно однозначно и конформно при помощи стереографической проекции. Напр., в качестве Р. с. можно взять единичную сферу [img: http://localhost:8080/file/041879-69.jpg] а плоскость [img: http://localhost:8080/file/041879-70.jpg] совместить с плоскостью t=0так, чтобы действительная ось совпала с осью h=0, t=0,aмнимая ось - с осью [img: http://localhost:8080/file/041879-71.jpg] (см. рис.). Каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041879-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041879-73.jpg] при стереографич. проекции соответствует точка сферы [img: http://localhost:8080/file/041879-74.jpg], получающаяся как точка пересечения луча со сферой S2, [img: http://localhost:8080/file/041879-75.jpg] проведенного из северного полюса сферы Р(0, 0, 1) в точку z; бесконечно удаленной точке [img: http://localhost:8080/file/041879-76.jpg] соответствует северный полюс Р(0,0, 1). Аналитически это соответствие выражается формулами [img: http://localhost:8080/file/041879-77.jpg] (*) Иначе говоря, соответствие (*) определяет дифференцируемое вложение одномерного комплексного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/041879-78.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/041879-79.jpg] в виде сферы S2. Во многих вопросах теории функций расширенную комплексную плоскость отождествляют с Р. с. От исключительной роли бесконечно удаленной точки плоскости [img: http://localhost:8080/file/041879-80.jpg] можно избавиться, если за расстояние между двумя точками [img: http://localhost:8080/file/041879-81.jpg] принять х о р д а л ь н о е, или с ф е р и ч е с к о е, р а с с т о я н и е c (z, w) между их образами [img: http://localhost:8080/file/041879-82.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041879-83.jpg] Вложение многомерного комплексного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/041879-84.jpg], в пространство [img: http://localhost:8080/file/041879-85.jpg] можно осуществить при помощи формул комплексно n-мерной стереографич. проекции, обобщающих формулы (*) (см. [2]).