Римана тензор

- четырехвалентный тензор, рассматриваемый в теории кривизны пространств. Пусть Ln - пространство аффинной связности, [img: http://localhost:8080/file/041879-86.jpg] - объект связности пространства Ln, компоненты (координаты) Р. т., один раз контравариантного и трижды ковариантного, имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041879-87.jpg] где - [img: http://localhost:8080/file/041879-88.jpg] символ дифференцирования по пространственной координате [img: http://localhost:8080/file/041879-89.jpg]. В римановом пространстве Vn с основным метрич. тензором gij-, кроме тензора [img: http://localhost:8080/file/041879-90.jpg], рассматривается четырежды ковари-антный Р. т., получаемый опусканием верхнего индекса [img: http://localhost:8080/file/041879-91.jpg] с помощью метрич. тензора gij. [img: http://localhost:8080/file/041879-92.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/041879-93.jpg], так как Vn снабжено римановой связностью (без кручения). В произвольном пространстве с аффинной связностью без кручения координаты Р. т. удовлетворяют т о ж д е с т в у Р и ч ч и [img: http://localhost:8080/file/041879-94.jpg] т. е. циклирование по трем первым (нижним) индексам дает нуль. Р. т. обладает следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/041879-95.jpg] если оба индекса одной пары одинаковы, то соответствующая координата равна нулю: [img: http://localhost:8080/file/041879-96.jpg]; 5) для абсолютных производных Р. т. имеет место т о ж д е с т в о Б и а н к и [img: http://localhost:8080/file/041879-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041879-98.jpg] - символ ковариантного дифференцирования по координате х т. Аналогичное тождество имеет место и для тензора [img: http://localhost:8080/file/041879-99.jpg],ij. Р. т. имеет всего n4 координат, где п - размерность пространства, из них n2(n2-1)/12 существенных, между к-рыми нет тождественных зависимостей, вытекающих из указанных свойств. В случае п=2Р. т. имеет одну существенную координату R12,12, к-рая входит в определение внутренней, или римановой, кривизны поверхности (см. Гауссова кривизна). [img: http://localhost:8080/file/041879-100.jpg] Р. т. был определен Б. Риманом (В. Riemann) в 1861 (опубл. в 1876).