Римана функция

- 1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в - функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд [img: http://localhost:8080/file/041880-8.jpg] (*) с ограниченными последовательностями [img: http://localhost:8080/file/041880-9.jpg] Ф у н к ц и е й Р и м а н а для этого ряда наз. функция F(x), полученная почленным двукратным интегрированием данного ряда: [img: http://localhost:8080/file/041880-10.jpg] Т е о р е м ы Р и м а н а. 1) Пусть ряд (*) сходится в точке х 0 к числу S. Тогда производная Шварца D2F(x0) = S.2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/041880-11.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041880-12.jpg]. Тогда в любой точке х [img: http://localhost:8080/file/041880-13.jpg] причем сходимость на любом промежутке равномерная, то есть F(х) - равномерно гладкая функция. Если ряд (*) сходится на [0, 2p] к f(x)и [img: http://localhost:8080/file/041880-14.jpg], то D2F(x)=f(x)на [0, 2p] и [img: http://localhost:8080/file/041880-15.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041880-16.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041880-17.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/041880-18.jpg] конечны в точке х,a [img: http://localhost:8080/file/041880-19.jpg] Тогда нижняя и верхняя производные Шварца [img: http://localhost:8080/file/041880-20.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041880-21.jpg] принадлежат [img: http://localhost:8080/file/041880-22.jpg], где m - нек-рая абсолютная постоянная (л е м м а Дюбуа - Реймона).