Риманова метрика

- метрика пространства, задаваемая положительно определенной квадратичной формой. Если в пространстве Vn введена локальная система координат (x1,..., х n)и в каждой точке Х(х 1,...,..., х n) [img: http://localhost:8080/file/041881-90.jpg] определены функции gij(X), i, j=1, 2,..., n, det (gij)>0, gij(X)=gji(X), являющиеся компонентами ковариантного симметричного тензора второй валентности, то этот тензор наз. о с н о в н ы м м е тр и ч е с к и м т е н з о р о м пространства Vn. С помощью основного тензора выражается длина ds контравариантного вектора (dx1,..., dxn): [img: http://localhost:8080/file/041881-91.jpg] форма [img: http://localhost:8080/file/041881-92.jpg] является положительно определенной квадратичной формой. Метрика пространства Vn, определенная с помощью формы ds2, наз. римановой, а пространство с введенной в нем Р. м. наз. римановым пространством. Задание Р. м. на нек-ром дифференцируемом многообразии означает задание на этом многообразии евклидовой структуры, дифференцируемым образом зависящей от точки. Р. м. является обобщением первой квадратичной формы поверхности в трехмерном евклидовом пространстве - внутренней метрики поверхности. Геометрия пространства Vn, основанная на определенной Р. м., наз. римановой геометрией. Существуют обобщения понятия Р. м. Так, псевдориманова метрика определяется с помощью неопределенной квадратичной формы (см. Псевдориманово пространство и Относительности теория). Вырожденная Р. м., то есть метрич. форма, определенная с помощью функций gij(X), для к-рых det (gij) = 0, определяет нек-рое полуриманово пространство.