Риманова связность

- аффинная связность на римановом пространстве М, относительно к-рой метрич. тензор пространства gij является ковариантно постоянным. Если аффинная связность на Мзадана с помощью матрицы локальных форм связности. [img: http://localhost:8080/file/041882-52.jpg] (1) и метрич. формой на Мявляется [img: http://localhost:8080/file/041882-53.jpg], то последнее условие выражается в виде [img: http://localhost:8080/file/041882-54.jpg] (2) Оно может быть выражено еще следующим образом: при параллельном перенесении вдоль любой кривой многообразия Мскалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/041882-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-57.jpg] произвольных двух векторов сохраняет свое значение, т. е. для любых векторных полей X, Y, Z на Мсправедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/041882-58.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041882-59.jpg] - векторное поле, называемое ковариантной производной поля Xотносительно поля Zи определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/041882-60.jpg] Если на Мперейти к локальному полю ортонормированных реперов, то [img: http://localhost:8080/file/041882-61.jpg] (если ограничиться случаем положительно определенной ds2) и условие (2) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/041882-62.jpg] т. е. матрица w, составленная из форм (1), принимает значения в алгебре Ли группы движений евклидова пространства Е n размерности n=dim М. Поэтому Р. с. может быть интерпретирована как связность в расслоенном пространстве ортонормированных реперов в касательных к Мевклидовых пространствах. Голономии группа Р. с. есть нек-рая подгруппа группы движений пространства Е n;римановой связностью для нек-рой римановой метрики на Мявляется каждая аффинная связность, группа голономии к-рой - группа движений или нек-рая ее подгруппа. Если в (1) wi - dх i (то есть Мотнесено к полю натуральных реперов локальной координатной системы), то [img: http://localhost:8080/file/041882-63.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041882-64.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041882-65.jpg] - т. н. символ Кристоффеля и [img: http://localhost:8080/file/041882-66.jpg] - тензор кручения Р.. с. Существует одна и только одна Р. с. без кручения (т. е. такая, что [img: http://localhost:8080/file/041882-67.jpg]), к-рая определяется формами [img: http://localhost:8080/file/041882-68.jpg] и наз. Леви-Чивита связностью.