Риманово пространство обобщенное

- пространство с внутренней метрикой, подчиненное нек-рым ограничениям на кривизну. К ним относятся пространства с "кривизной, ограниченной сверху", и др. (см. [3]). Р. п. о. отличаются от римановых пространств не только большей общностью, но и тем, что они определяются и исследуются, исходя из метрики, без координат. При нек-ром соединении условий на кривизну и поведении кратчайших (т. е. кривых, длины к-рых равны расстояниям между концами) Р. п. о. оказывается римановым, что дает чисто метрич. определение риманова пространства. Определения Р. п. о. исходят из классич. связи кривизны с избытком геодезического треугольника (избыток= сумма углов минус p). Эти понятия переносятся на пространство с внутренней метрикой такое, что у каждой точки его есть окрестность, любые две точки к-рой соединены кратчайшей. Это условие далее подразумевается без оговорок. Т р е у г о л ь н и к о м Т=АВС наз. тройка кратчайших АВ, ВС, СА - сторон треугольника, соединяющих попарно три различных точки А, В, С - вершины треугольника. Угол определяется между кривыми в любом метрич. пространстве. Пусть L, M - исходящие из одной точки Окривые в пространстве с метрикой r. Выбираются точки [img: http://localhost:8080/file/041882-69.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041882-70.jpg], строится евклидов треугольник со сторонами х=r(О, X), у=r(O, Y), z=r(X, Y)и углом g(х, у), противолежащим стороне z. Определяется в е р х н и й у г о л между Lи М: [img: http://localhost:8080/file/041882-71.jpg] (1) Верхние углы треугольника - это верхние углы [img: http://localhost:8080/file/041882-72.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041882-73.jpg] между его сторонами при вершинах А, В, С, а избыток треугольника [img: http://localhost:8080/file/041882-74.jpg] Р. п. о. с ограниченной кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-75.jpg] определяется условием: (А)для каждой последовательности треугольников Т n, стягивающихся к точке, [img: http://localhost:8080/file/041882-76.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041882-77.jpg] - площадь евклидова треугольника с такими же сторонами, что [img: http://localhost:8080/file/041882-78.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041882-79.jpg] Такое пространство оказывается римановым при двух естественных дополнительных условиях: (1) л о к а л ь н а я к о м п а к т н о с т ь п р о с тр а н с т в а (в пространстве с внутренней метрикой это уже обеспечивает условие локального существования кратчайших); (2) л о к а л ь н а я п р о д о л ж а е м о с т ь к р а тч а й ш и х - у каждой точки существует окрестность Uтакая, что любую кратчайшую ХY, где [img: http://localhost:8080/file/041882-80.jpg], можно продолжить за ее концы. При всех этих условиях пространство является римановым (см. [4]), причем в окрестности каждой точки можно ввести координаты х i так, что метрика будет задаваться линейным элементом [img: http://localhost:8080/file/041882-81.jpg] с коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041882-82.jpg], 0<a<1. Тем самым имеется параллельный перенос (с непрерывными [img: http://localhost:8080/file/041882-83.jpg]) и почти везде - тензор кривизны. Кроме того, доказано [7], что координаты х i можно взять гармоническими, т. е. удовлетворяющими равенствам [img: http://localhost:8080/file/041882-84.jpg]. Гармонич. системы координат составляют атлас класса С 3,a при любом a, 0<a<1. Р. п. о. с ограниченной кривизной при K = K', удовлетворяющее условиям (1) и (2), является римановым пространством постоянной римановой кривизны K(см. [3]). Всякое риманово пространство с римановой кривизной, заключенной между Kи [img: http://localhost:8080/file/041882-85.jpg], является Р. п. о. кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-86.jpg] и удовлетворяет условиям (1) и (2). "Пространство с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-87.jpg] " определяется левым неравенством (2). т. е. условием: (А -)для любой последовательности треугольников Т п, стягивающихся в точку, [img: http://localhost:8080/file/041882-88.jpg] (3) Другое равносильное определение и начало исследования Р. п. о. исходят из сравнения произвольного треугольника Т=АВС с треугольником [img: http://localhost:8080/file/041882-89.jpg] со сторонами той же длины в пространстве постоянной кривизны K. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041882-90.jpg] - углы такого треугольника; относительный верхний избыток треугольника Топределяется как [img: http://localhost:8080/file/041882-91.jpg]. Условие (А -) в определении пространства с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-92.jpg] можно заменить на условие: (A1-). у каждой точки есть окрестность [img: http://localhost:8080/file/041882-93.jpg], в к-рой [img: http://localhost:8080/file/041882-94.jpg] для всякого треугольника Т. Выполняется и более сильное свойство вогнутости метрики. Именно, пусть L, М - кратчайшие, исходящие из одной точки О, и [img: http://localhost:8080/file/041882-95.jpg] - угол в треугольнике [img: http://localhost:8080/file/041882-96.jpg] со сторонами х=r(O, X), у=r(O, X), z=r(X, Y), [img: http://localhost:8080/file/041882-97.jpg], в пространстве постоянной кривизны K, противолежащий стороне z. В [img: http://localhost:8080/file/041882-98.jpg] (локально) угол [img: http://localhost:8080/file/041882-99.jpg] оказывается неубывающей функцией [img: http://localhost:8080/file/041882-100.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041882-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-102.jpg]. Отсюда следуют локальные свойства: (I) между любыми двумя кратчайшими, исходящими из одной точки, существует угол и даже "угол в сильном смысле" [img: http://localhost:8080/file/041882-103.jpg] (так что, в частности, если у=const, то [img: http://localhost:8080/file/041882-104.jpg]; (II) для углов a, b, g треугольника в [img: http://localhost:8080/file/041882-105.jpg] и соответствующего треугольника [img: http://localhost:8080/file/041882-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-107.jpg] (III) в [img: http://localhost:8080/file/041882-108.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041882-109.jpg], кратчайшие [img: http://localhost:8080/file/041882-110.jpg] (тем самым кратчайшая в [img: http://localhost:8080/file/041882-111.jpg] с данными концами единственна). Двойственными пространствами с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-112.jpg] будут пространства с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-113.jpg], определяемые аналогично через нижние избытки, к-рые вычисляются по нижним углам в сильном смысле. Для кратчайших L, М этот угол есть [img: http://localhost:8080/file/041882-114.jpg] Нижний избыток треугольника есть [img: http://localhost:8080/file/041882-115.jpg] Пространство с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-116.jpg] - это такое пространство, в к-ром вместо (А -)выполняется условие: (А +)для любой последовательности Т n треугольников, стягивающихся к точке, [img: http://localhost:8080/file/041882-117.jpg] (4) Неравенство с верхним избытком [img: http://localhost:8080/file/041882-118.jpg], противоположное неравенству (3), не дает содержательных результатов, их не дает и неравенство с избытком, вычисляемым просто с нижними углами [img: http://localhost:8080/file/041882-119.jpg] Условие (А +)можно заменить на условие: [img: http://localhost:8080/file/041882-120.jpg], у каждой точки есть окрестность [img: http://localhost:8080/file/041882-121.jpg], в к-рой [img: http://localhost:8080/file/041882-122.jpg] для всякого треугольника Т. В [img: http://localhost:8080/file/041882-123.jpg] (локально) угол [img: http://localhost:8080/file/041882-124.jpg] для двух кратчайших L, M оказывается невозрастающей функцией (выпуклая метрика). Аналогично пространствам с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-125.jpg] для пространств с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-126.jpg] выполняются (локальные) свойства, подобные (I) и (II): между кратчайшими существует угол в сильном смысле; [img: http://localhost:8080/file/041882-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-128.jpg] для всякого треугольника в [img: http://localhost:8080/file/041882-129.jpg]. Вместо (III) выполняется условие неналегания кратчайших или, что то же, единственность их продолжения: если АС Й АВ и АС1 Й АВ в [img: http://localhost:8080/file/041882-130.jpg], то либо AC Й AC1, либо АС1 Й АС. Таким образом, пространство с ограниченной кривизной получается соединением условий, определяющих оба класса пространств - с кривизной, ограниченной сверху или снизу (причем в левой части неравенства (3) нет нужды брать [img: http://localhost:8080/file/041882-131.jpg]). Условие (А) можно заменить, подобно [img: http://localhost:8080/file/041882-132.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041882-133.jpg], на условие: (A1) у каждой точки есть окрестность [img: http://localhost:8080/file/041882-134.jpg] ', где [img: http://localhost:8080/file/041882-135.jpg] для всякого треугольника Т. Это оказывается также равносильным следующему: (А 2) для всякой четверки точек в [img: http://localhost:8080/file/041882-136.jpg] ' существует четверка точек с теми же попарными расстояниями в пространстве постоянной кривизны k, где [img: http://localhost:8080/file/041882-137.jpg] и kзависит, вообще говоря, от выбранной четверки точек в [img: http://localhost:8080/file/041882-138.jpg] '. Примером Р. п. о. с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-139.jpg] является область риманова пространства, в к-рой римановы кривизны всех двумерных площадок во всех точках ограничены сверху (снизу) числом K(K'). Множество Vвпространстве с внутренней метрикой наз. в ы п у к л ы м, если любые две точки [img: http://localhost:8080/file/041882-140.jpg] можно соединить кратчайшей X, Y и всякая такая кратчайшая содержится в V. Установлен [8] следующий результат: если пространство Rс внутренней метрикой получено склеиванием двух пространств R', R" кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-141.jpg] по выпуклым множествам V' М R" и V" М R", то Rсамо есть пространство кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-142.jpg]. Условие склеивания заключается в том, что [img: http://localhost:8080/file/041882-143.jpg] и в R', R" индуцируется метрика пространства R. Две выходящие из точки Окривые L, М (по определению) имеют в О о д и н а к о в о е н а п р а в л е н и е, если верхний угол между ними равен нулю (если L=M, то говорят, что Lимеет в Оопределенное направление). Направление в точке Оопределяется как класс кривых, имеющих в Оодинаковое направление. Направления в точке Ообразуют метрич. пространство, в к-ром расстояние между направлениями определяется верхним углом между любыми их представителями. Это пространство наз. п р о с т р а нс т в о м н а п р а в л е н и й в точке О. Доказано [5]: если точка Осодержится в окрестности пространства кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-144.jpg], гомеоморфной Е n, то пространство направлений в точке Оявляется пространством кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-145.jpg]. Неизвестно (1983), гомеоморфно ли оно (п-1)-мерной сфере. В двумерном случае теория многообразий ограниченной кривизны (см. Двумерное многообразие ограниченной кривизны)включает в себя как частный случай теорию многообразий с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-146.jpg]. Примером двумерного многообразия с кривизной [img: http://localhost:8080/file/041882-147.jpg] является линейчатая поверхность в [img: http://localhost:8080/file/041882-148.jpg], снабженная внутренней метрикой, т. е. поверхность, образованная внутренними частями кратчайших, концы к-рых зачеркивают две спрямляемые кривые L1 L2. Если кривая L2 вырождается в точку О, поверхность наз. к о н у с о м к р а тч а й ш и х, натянутым из точки Она кривую L1. Если L1 есть треугольник ОАВ, то такой конус наз. поверхностным треугольником (см. [3]). Отображение [img: http://localhost:8080/file/041882-149.jpg] метрич. пространства наз. н е р а с т я г и в а ю щ и м, если [img: http://localhost:8080/file/041882-150.jpg], j(Y)) для любых [img: http://localhost:8080/file/041882-151.jpg]. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041882-152.jpg] замкнутой кривой Г 1 в М 1 на замкнутую кривую Г 2 в М 2 наз. э к в и л о н г а л ь н ы м, если длины соответствующих при отображении j дуг кривых Г 1 и Г 2 совпадают. Пусть V - выпуклая область в пространстве постоянной кривизны Kи L - краевой контур V. Область Vм а ж о р и р у е т замкнутую кривую Г в метрич. пространстве М, если существует нарастающее отображение области Vв М, эквилонгально отображающее Lна Г. Само отображение наз. м а ж о р и р у ющ и м. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041882-153.jpg] - выпуклое пространство с внутренней метрикой; С - конус кратчайших, натянутый на замкнутую спрямляемую кривую Г в [img: http://localhost:8080/file/041882-154.jpg] из точки [img: http://localhost:8080/file/041882-155.jpg], причем в случае K>0 длина l кривой Г меньше [img: http://localhost:8080/file/041882-156.jpg] Тогда в пространстве постоянной кривизны Kсуществует выпуклая область V, мажорирующая Г, такая, что j(V)=C для соответствующего мажорирующего отображения j. Это свойство характеризует пространства кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-157.jpg]. Достаточным является уже существование эквилонгального нерастягивающего отображения контура Lобласти Vна Г. П о в е р х н о с т ь ю в метрич. пространстве Мназ. непрерывное отображение f круга Вв М. Пусть Р - триангулируемый многоугольник, т. е. комплекс из треугольников Т i, вписанный в В. Треугольнику Ti с вершинами X, Y, Z сопоставляется евклидов треугольник [img: http://localhost:8080/file/041882-158.jpg] со сторонами, равными расстоянию между точками f(X), f(Y), f(Z). Пусть S0(P)обозначает сумму площадей [img: http://localhost:8080/file/041882-159.jpg] всех треугольников [img: http://localhost:8080/file/041882-160.jpg]; тогда п л ощ а д ь S(f) п о в е р х н о с т и f определяется (см. [3]) как нижний предел величин S0(P)при условии, что вершины комплекса Рнеограниченно сгущаются в В: S(f)=lim S0(P). Это определение модифицировано так (см. [6]). Вместо точек f(X), f(Y), f(Z). вершинам X, Y, Z треугольника Т i комплекса Р сопоставляются нек-рые точки Х р, Yp, Zp в М, причем вершинам комплекса Рсопоставляются одинаковые точки в том и только в том случае, когда образы вершин при отображении f совпадают. За площадь L(f)поверхности f принимается нижний предел сумм площадей евклидовых треугольников [img: http://localhost:8080/file/041882-161.jpg] со сторонами, равными расстояниям между точками Х р, Yp, Zp при дополнительном предположении, что [img: http://localhost:8080/file/041882-162.jpg] по всем вершинам [img: http://localhost:8080/file/041882-163.jpg] комплекса Рстремится к нулю. Всегда [img: http://localhost:8080/file/041882-164.jpg] 1) Если последовательность поверхностей fn в RR, равномерно сходится к поверхности f, то [img: http://localhost:8080/file/041882-165.jpg] (полунепрерывность). 2) Если р - нерастягивающее отображение из [img: http://localhost:8080/file/041882-166.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041882-167.jpg] и f - поверхность в [img: http://localhost:8080/file/041882-168.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041882-169.jpg] (принцип Колмогорова). 3) Площадь S(f) поверхностного треугольника Тв [img: http://localhost:8080/file/041882-170.jpg] не больше площади соответствующего треугольника [img: http://localhost:8080/file/041882-171.jpg] и равна ему тогда и только тогда, когда треугольник Тизометричен [img: http://localhost:8080/file/041882-172.jpg] (локальное свойство). 4) В условиях теоремы о существовании мажорирующего отображения (см. выше) площадь S(G)не больше площади круга в пространстве постоянной кривизны Kс периметром l(изопериметрическое неравенство) (см. [3], [6]). Решается [6] задача Плато в [img: http://localhost:8080/file/041882-173.jpg] о существовании поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую Г. Доказано следующее. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041882-174.jpg] - метрически полное пространство кривизны [img: http://localhost:8080/file/041882-175.jpg] (при K>0 диаметр [img: http://localhost:8080/file/041882-176.jpg], Г - замкнутая жорданова кривая в [img: http://localhost:8080/file/041882-177.jpg]. Тогда существует поверхность f минимальной площади L(f), натянутая на кривую Г. Пусть Г, Г n, n=1, 2,...,- замкнутые жордановы кривые в таком пространстве и а (Г), а (Г n) - минимальные площади поверхностей, натянутых соответственно на Г и Г n. Если Г n равномерно сходятся в нек-рых параметризациях к Г, то [img: http://localhost:8080/file/041882-178.jpg] Рассматривались двумерные многообразия с индефинитной метрикой ограниченной кривизны. Не решена (1983) задача бескоординатного определения многомерных пространств с индефинитной метрикой ограниченной кривизны, в частности пространств общей теории относительности.