Риманово пространство однородное

- риманово пространство (М,g) вместе с транзитивной эффективной группой Gего движений. Пусть K - стационарная подгруппа фиксированной точки [img: http://localhost:8080/file/041882-179.jpg] Тогда многообразие Мотождествляется с факторпространством G/K с помощью биекции [img: http://localhost:8080/file/041882-180.jpg], а риманова метрика g рассматривается как G-инвариантная метрика на G/K. Обычно предполагается дополнительно, что группа G замкнута в полной группе движений. В этом случае стационарная подгруппа Kкомпактна. Пусть K - компактная подгруппа группы Ли G, не содержащая нормальных делителей группы G. Тогда однородное пространство М=G/K допускает инвариантную риманову метрику g, к-рая определяется следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041882-181.jpg] - редуктивная структура в M, т. е. разложение алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041882-182.jpg] группы Ли Gв прямую сумму алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041882-183.jpg] группы Kи подпространства [img: http://localhost:8080/file/041882-184.jpg], инвариантного относительно присоединенного представления Ad Kгруппы Kв пространстве [img: http://localhost:8080/file/041882-185.jpg]. Пространство [img: http://localhost:8080/file/041882-186.jpg] естественным образом отождествляется с касательным пространством [img: http://localhost:8080/file/041882-187.jpg] точки o= еK, а представление изотропии группы Kв Т 0 М - с представлением [img: http://localhost:8080/file/041882-188.jpg]. Любая G-инвариантная риманова метрика g на M получается из нек-рого Ad K- инвариантного скалярного произведения g0 в [img: http://localhost:8080/file/041882-189.jpg] разнесением с помощью преобразований из G: [img: http://localhost:8080/file/041882-190.jpg] Существование такого скалярного произведения следует из компактности группы изотропии [img: http://localhost:8080/file/041882-191.jpg] Любое Р. п. о., локально изометричное односвязному Р. п. о. М, получается из Мфакторизацией по произвольной дискретной группе изометрий Клиффорда - Вольфа (т. е. движений многообразия М, перемещающих все точки на одинаковые расстояния [2]). Наиболее изученными классами Р. п. о. являются римановы симметрич. пространства, однородные кэлеровы пространства и однородные кватернионные пространства, изотропно неприводимые Р. п. о. (классифицированы в [9], [10]), нормальные Р. п. о., в к-рых скалярное произведение g0 в [img: http://localhost:8080/file/041882-192.jpg] продолжается до невырожденной симметрической Ad G-инвариантной билинейной формы на [img: http://localhost:8080/file/041882-193.jpg], естественно редуктивные Р. п. о., характеризуемые тем, что в них любая геодезическая является траекторией однопараметрич. группы движений. Изучена структура Р. п. о. с различными условиями на тензор кривизны. Напр., известна классификация Р. п. о. положительной секционной кривизны [5]. Описана структура просто транзитивных групп движений Р. п. о. неположительной кривизны [8], неотрицательной кривизны и неотрицательной кривизны Риччи [4]. Р. п. о. с разрешимой группой движений Gвсегда имеет неположительную скалярную кривизну sk, и случай sk=0 возможен только для локально евклидова пространства. Любая инвариантная риманова метрика на односвязном Р. п. о. G/Kимеет неположительную скалярную кривизну тогда и только тогда, когда Kесть максимальная компактная подгруппа группы G(см. [4]). Р. п. о. (М,g) наз. э й н ш т е й н о в ы м, если его тензор Риччи r пропорционален метрике: r=l,g, l=const. Проблема описания эйнштейновых Р. п. о. не решена (1983). Известен ряд частных результатов. Пусть (М=С/K,g) - эйнштейново Р. п. о. со скалярной кривизной sk. 1) Если sk>0, то многообразие Мкомпактно. Описаны все такие пространства: а) если (М,g) - кватернионное пространство, б) если Мдиффеоморфно симметрич. пространству ранга один, в) для нек-рого класса естественно редуктивных Р. п. о. (см. [7]) и для изотропно неприводимых Р. п. о. (см. [10]). 2) Если sk-0, то Месть локально евклидово пространство. 3) Если sk<0 и группа Gунимодулярна (т. е. определитель операторов ее присоединенного представления равен 1), то группа G полупроста.