Римановых поверхностей классификация

- изучение римановых поверхностей (р. п.), связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях. Комплексная функция [img: http://localhost:8080/file/041882-194.jpg] на р. п. Rназ. а н а л и т и ч е с к о й на R, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041882-195.jpg] существуют окрестность Uи локальный униформизирующий параметр z=j(р), j(р 0) = 0, отображающий гомеоморфно Uна единичный круг [img: http://localhost:8080/file/041882-196.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-197.jpg] и такой, что сложная функция [img: http://localhost:8080/file/041882-198.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-199.jpg] является однозначной аналитич. цией в D. Аналогично определяются на р. п. действительные и комплексные гармонич. функции, субгармонич. функции и др. Пусть W - нек-рый конформно инвариантный класс функций на р. п. R, содержащий константы. Задача Р. п. к. в простейшей постановке состоит в определении условий, при к-рых данная р. п. Rпринадлежит или не принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/041882-200.jpg] таких р. п., что класс Wна них состоит только из констант. Теория Р. п. к. выросла в 20 в. из классич. теоремы Римана о конформном отображении односвязных р. п., проблемы типа, проблемы существования Грина функции р. п. и понятия идеальной границы р. п. Т е о р е м а Р и м а н а утверждает, что любая односвязная р. п. R отображается конформно (и, следовательно, гомеоморфно) на плоскую область Dодного из трех видов: [img: http://localhost:8080/file/041882-201.jpg] - расширенная комплексная плоскость (случай р. п. R э л л и п т и ч ес к о г о т и п а); [img: http://localhost:8080/file/041882-202.jpg] - конечная комплексная плоскость (R- п а р а б о л и ч е с к о г о типа); [img: http://localhost:8080/file/041882-203.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041882-204.jpg] - единичный круг (R - г и п е рб о л и ч е с к о г о типа). Поскольку эллиптич. случай отличается от остальных уже топологически, остается трудная задача распознавания, когда данная р. п. Rпринадлежит гиперболическому или параболич. типу. Это и есть классич. п р о б л е м а т и п а, полностью пока не решенная (1983). Известно, что замкнутая р. п. рода gпри g=0 эллиптич. типа, при g=1 параболич. типа, при g>1 гиперболич. типа, поэтому проблема типа важна в основном для открытых р. п. В случае произвольной р. п. R, не обязательно односвязной, ее типом является тип ее универсальной накрывающей поверхности (см. Универсальное накрытие) [img: http://localhost:8080/file/041882-205.jpg], к-рая всегда односвязна. Для односвязных конечных р. п. R задача отыскания конформного отображения R на единичный круг Dэквивалентна задаче отыскания функции Грина G(p, р0)для R, т. е. положительной гармонич. функции с логарифмич. особенностью вида [img: http://localhost:8080/file/041882-206.jpg] в полюсе [img: http://localhost:8080/file/041882-207.jpg] (z=j(р) - параметр в окрестности р 0, z0=j(р 0), обращающийся в нуль во всех точках края [img: http://localhost:8080/file/041882-208.jpg]). Функция Грина строится и для многосвязных конечных р. п. гиперболич. типа. В случае произвольной открытой р. п. R можно построить исчерпание [img: http://localhost:8080/file/041882-209.jpg] поверхности R с помощью конечных р. п. [img: http://localhost:8080/file/041882-210.jpg] с краем, имеющих функции Грина [img: http://localhost:8080/file/041882-211.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/041882-212.jpg], начиная с нек-рого номера [img: http://localhost:8080/file/041882-213.jpg]), и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041882-214.jpg]. Постоянная [img: http://localhost:8080/file/041883-1.jpg], наз. Робена постоянной р. п. [img: http://localhost:8080/file/041883-2.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/041883-3.jpg] есть емкость края [img: http://localhost:8080/file/041883-4.jpg] (относительно фиксированного полюса [img: http://localhost:8080/file/041883-5.jpg]). При стремлении [img: http://localhost:8080/file/041883-6.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/041883-7.jpg] значения Gv(p, p0)и gv могут только возрастать. Функция Грина открытой р. п. R определяется как предел G(p, р0)возрастающей последовательности {Gv(p, p0)},если он существует; в противном случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041883-8.jpg] говорят, что р. п. R не имеет функции Грина, причем существование или несуществование функции Грина не зависит от выбора полюса [img: http://localhost:8080/file/041883-9.jpg]. Класс р. п., для к-рых функция Грина не существует, обозначается [img: http://localhost:8080/file/041883-10.jpg] Иными словами, класс [img: http://localhost:8080/file/041883-11.jpg] характеризуется тем, что [img: http://localhost:8080/file/041883-12.jpg] причем эти соотношения также не зависят от выбора полюса. Пусть R - открытая р. п. и [img: http://localhost:8080/file/041883-13.jpg] -т. н. опр е-деляющая последовательность замкнутых на Rобластей [img: http://localhost:8080/file/041883-14.jpg], т. е. такая последовательность, что 1) граница [img: http://localhost:8080/file/041883-15.jpg] есть простая замкнутая кривая на R; 2) [img: http://localhost:8080/file/041883-16.jpg]; 3) [img: http://localhost:8080/file/041883-17.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041883-18.jpg] не компактны на R. Две определяющие последовательности [img: http://localhost:8080/file/041883-19.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-20.jpg] эквивалентны, если каждому v соответствуют такие пи т, что [img: http://localhost:8080/file/041883-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-22.jpg]. Классы эквивалентности определяющих последовательностей наз. г р а н и ч н ы м и э л е м е н т а м и р. п. R, а совокупность всех граничных элементов образует и д е а л ь н у ю г р а н и ц у Г р. п. R, рассматриваемой как топологич. поверхность. Напр., идеальная граница единичного круга Dсостоит из одного граничного элемента. Отметим, что функция Грина открытой р. п. R, в отличие от случая гиперболич. конечной р. п., не обязательно обращается в нуль на всех элементах идеальной границы Г. Класс [img: http://localhost:8080/file/041883-23.jpg] характеризуется также как класс р. п. с идеальной границей нулевой емкости, или, короче, как класс р. п. с нулевой границей; если [img: http://localhost:8080/file/041883-24.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041883-25.jpg] наз. емкостью идеальной границы. Существование или несуществование функции Грина р. п. R, а также объем других функциональных классов на R определяются прежде всего этой и другими более тонкими характеристиками идеальной границы, связанными с самими функциональными классами. О с н о в н ы м и ф у н к ц и о н а л ь н ы м и к л а с с а м и Wна р. п. Rявляются следующие: А В - класс ограниченных однозначных аналитич. ций на R; AD - класс однозначных аналитич. ций f(z) на R с конечным Дирихле интегралом [img: http://localhost:8080/file/041883-26.jpg] HР, HВ и HD - классы однозначных гармонич. функций на R соответственно положительных, ограниченных и с конечным интегралом Дирихле. Эти классы могут комбинироваться, напр. ABD - класс ограниченных однозначных аналитич. ций на R с конечным интегралом Дирихле. Для соответствующих классов [img: http://localhost:8080/file/041883-27.jpg] р. п. R установлены следующие строгие включения и равенства: [img: http://localhost:8080/file/041883-28.jpg] Для плоских областей R эти соотношения упрощаются: [img: http://localhost:8080/file/041883-29.jpg] Важное значение имеют также к л а с с ы Х а р д и [img: http://localhost:8080/file/041883-30.jpg], однозначных аналитич. ций w=f(z) на р. п. R. При [img: http://localhost:8080/file/041883-31.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/041883-32.jpg] если субгармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/041883-33.jpg] имеет на всей р. п. R гармонич. мажоранту, а [img: http://localhost:8080/file/041883-34.jpg] (см. Граничные свойства аналитических функций). Р. п. параболич. типа принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/041883-35.jpg], поэтому иногда вопрос о характеризации р. п. класса [img: http://localhost:8080/file/041883-36.jpg] наз. о б о б щ е н н о й п р о б л е м о й т и п а. Имеется много результатов, в к-рых в различных терминах устанавливаются условия принадлежности р. п. указанным выше классам. Глубокие исследования были посвящены выяснению внутренних свойств р. п. определенных классов. В частности, оказалось, что р. п. с нулевой границей во многих отношениях аналогичны замкнутым р. п. На них строятся аналоги абелевых дифференциалов и соответствующие интегралы. Более тонкие свойства идеальной границы р. п. R удается исследовать также с помощью различных компактификаций R. Напр., пусть N(R) - винеровская алгебра функций uна р. п. R, ограниченных, непрерывных и гармонизуемых на R; последнее означает, что для любой регулярной области GМRсуществует обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера - Перрона (см. Перрона метод)с граничными данными ина границе [img: http://localhost:8080/file/041883-37.jpg]. К о м п а к т и ф и к а ц и е й В и н е р а р. п. R наз. компактное хаусдорфово пространство R* такое, что R есть открытое плотное подпространство R*, каждая функция [img: http://localhost:8080/file/041883-38.jpg] непрерывно продолжается на R* и N(R) разделяет точки R*. Компактификация Винера существует для любой р. п. R. Множество [img: http://localhost:8080/file/041883-39.jpg] наз. в и н е р о в с к о й и д е а л ь н о й г р а н и ц е й р. п. R, а подмножество [img: http://localhost:8080/file/041883-40.jpg], состоящее из тех точек R*, в к-рых все потенциалы из N(R) обращаются в нуль,- винеровской гармонической г р а н и ц е й. В этих терминах, напр., включение [img: http://localhost:8080/file/041883-41.jpg] равносильно равенству [img: http://localhost:8080/file/041883-42.jpg]; отсюда получается также строгое включение [img: http://localhost:8080/file/041883-43.jpg] С Р. п. к. связан также вопрос об устранимых множествах на р. п. Так, компакт Kна р. п. R наз. АВ- у с т р а н и м ы м, если для нек-рой окрестности UЙK на R все AB -функции на [img: http://localhost:8080/file/041883-44.jpg] имеют аналитич. родолжение на всю окрестность U. Внимание многих исследователей привлечено также к вопросам классификации римановых многообразий произвольных размерностей [img: http://localhost:8080/file/041883-45.jpg], связанной с рассмотрением описанных выше классов функций. Лит. см. при ст. Риманова поверхность. Е. Д. Соломенцев.