Рисса потенциал

a-потенциал,-потенциал вида [img: http://localhost:8080/file/041883-157.jpg] где m - положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041883-158.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041883-159.jpg] - расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/041883-160.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/041883-161.jpg] и a=n-2 Р. п. совпадает с классическим ньютоновым потенциалом;при n=2 и [img: http://localhost:8080/file/041883-162.jpg] предельным случаем Р. п. в нек-ром смысле является логарифмический потенциал. При [img: http://localhost:8080/file/041883-163.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-164.jpg] Р. п. есть супергармонич. функция во всем пространстве [img: http://localhost:8080/file/041883-165.jpg]; при этом в классич. случае a=n-2 вне носителя S'(m) меры m потенциал [img: http://localhost:8080/file/041883-166.jpg] есть гармонич. функция. При a>n-2 Р. п. Va(x). есть субгармонич. функция вне S(m). При всех a>0 Р. п. Va(x) - полунепрерывная снизу функция в [img: http://localhost:8080/file/041883-167.jpg], непрерывная вне S(m). Из общих свойств Р. п. важнейшими являются следующие. П р и н ц и п н е п р е р ы в н о с т и: если [img: http://localhost:8080/file/041883-168.jpg] и сужение [img: http://localhost:8080/file/041883-169.jpg] непрерывно в точке х 0, то Va(x)непрерывен в х 0 как функция на всем [img: http://localhost:8080/file/041883-170.jpg] О г р а н и ч е н н ы й п р и н ц и п м а к с и м у м а: если [img: http://localhost:8080/file/041883-171.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041883-172.jpg] всюду в [img: http://localhost:8080/file/041883-173.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/041883-174.jpg] справедлив более точный п р и н ц и п м а к с и м у м а: если [img: http://localhost:8080/file/041883-175.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041883-176.jpg] всюду в [img: http://localhost:8080/file/041883-177.jpg] (это утверждение остается верным и при п=2и [img: http://localhost:8080/file/041883-178.jpg], то есть для логарифмич. потенциала). Теория емкости для Р. п. строится, напр., исходя из понятия a-энергии меры m: [img: http://localhost:8080/file/041883-179.jpg] Для компакта Kможно положить [img: http://localhost:8080/file/041883-180.jpg] где нижняя грань берется по всем мерам m, сосредоточенным на Kи таким, что m(K)= 1; тогда a-е м к о с т ь равна [img: http://localhost:8080/file/041883-181.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041883-182.jpg], то нижняя грань достигается на сосредоточенной на Kе м к о с т н о й м е р е l, l(K)=1, порождающей соответствующий е м к о с тн ы й a-п о т е н ц и а л V(х;a, l). Дальнейшее построение a-емкостей произвольных множеств производится так же, как и для классич. емкостей. Р. п. назван по имени М. Рисса (см. [2]), получившего ряд важных свойств Р. п.; впервые такие потенциалы были исследованы О. Фростманом (см. [1]).