Рисса пространство

, в е к т о р н а я решетка,- вещественное частично упорядоченное векторное пространство X, в к-ром 1) структуры векторного пространства и упорядоченного множества согласованы, т. е. из х, у, [img: http://localhost:8080/file/041883-197.jpg] и х< уследует x+z< у + z и из [img: http://localhost:8080/file/041883-198.jpg], х >0, [img: http://localhost:8080/file/041883-199.jpg],l> 0 следует lх> 0; 2) для любых двух элементов х, у существует sup (х, у) [img: http://localhost:8080/file/041883-200.jpg]. В частности, существуют sup и inf любого конечного множества. В отечественной литературе Р. п. обычно наз. K- линеалами. Впервые такие пространства были введены Ф. Риссом (F. Riesz, 1928). Примером Р. п. может служить пространство С[ а, b]действительных непрерывных на С[ а, b] функций с поточечным упорядочением. Для любого элемента x. Р..п. определяются [img: http://localhost:8080/file/041883-201.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-202.jpg]. При этом оказывается, что [img: http://localhost:8080/file/041883-203.jpg]. В Р. п. вводятся два вида сходимости последовательности { х n}. П о р я д к о в а я с х о д и м о с т ь, о-с х о д и м о с т ь: [img: http://localhost:8080/file/041883-204.jpg]. если существует монотонно возрастающая последовательность {(yn} и монотонно убывающая последовательность {zn} такие, что [img: http://localhost:8080/file/041883-205.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-206.jpg]. Относительно р а в н о м е р н а я с х о д и м о с т ь, r-с х о д и м о с т ь: [img: http://localhost:8080/file/041883-207.jpg], если существует элемент и> 0 такой, что для любого e > 0 существует n0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/041883-208.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041883-209.jpg] (r-сходимость наз. также с х о д и м о с т ь ю с р е г у л я т о р о м). Понятия о- и r-сходимости обладают многими обычными свойствами сходимости числовых последовательностей и естественным образом распространяются на направления [img: http://localhost:8080/file/041883-210.jpg]. Р п наз. а р х и м е д о в ы м, если из [img: http://localhost:8080/file/041883-211.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-212.jpg] для n=1,2,... следует [img: http://localhost:8080/file/041883-213.jpg]. В архимедовом P. п. из [img: http://localhost:8080/file/041883-214.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-215.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/041883-216.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041883-217.jpg] и из r-сходимости следует о-сходимость.