Рисса система

- понятие теории ортогональных систем Пусть фиксирована в пространстве L2=L2 (а,b)полная система функций {yn}. Ее считают нормированной или, более общо, почти нормированной, т. е. допускают наличие чисел m> 0 и М >0, при к-рых для всех [img: http://localhost:8080/file/041883-218.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/041883-219.jpg] Ослабляя требования ортогональности системы {yn}, предполагают, что существует полная в L2 система функций {gn} и такая, что (yn, gn)=1, (yn, gm)=0 Для всех [img: http://localhost:8080/file/041883-220.jpg]. В частном случае, когда система {$} ортонормирована, gn-^tyn для всех [img: http://localhost:8080/file/041883-221.jpg] ". Если ряд [img: http://localhost:8080/file/041883-222.jpg] сходится в L2 к функции f, то а п=(f, gn)при всех [img: http://localhost:8080/file/041883-223.jpg]. Поэтому имеет смысл называть число а n= (f, gn) n- коэффициентом Фурье функции f по системе {yn}. В доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов играют важную роль неравенство Бесселя и теорема Рисса-Фишера. В общем случае эти теоремы не верны, и поэтому приходится выделять специальный класс Р. с. с помощью следующих требований к системе {yn}. 1) Для любой функции f сходится ряд из квадратов коэффициентов Фурье, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041883-224.jpg] 2) Для любой последовательности чисел [img: http://localhost:8080/file/041883-225.jpg] существует функция f, имеющая числа а п своими n-коэффициентами Фурье по системе {yn}, то есть а п=(f,gn)Для всех [img: http://localhost:8080/file/041883-226.jpg]. Первое требование к системе {yn} заменяет неравенство Бесселя, второе - теорему Рисса - Фишера. Н. К. Бари доказала (см. [2]), что система {yn} есть Р. с. тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный обратимый в L2 оператор Атакой, что система функций {Ayn} является полной и ортонормированной. Поэтому Р. с. наз. также базисом Рисса, эквивалентным ортонормированному. Н. К. Бари указала удобный критерий для Р. с. Полная в L2 система функций {yn} является Р. с. тогда и только тогда, когда матрица Грама [img: http://localhost:8080/file/041883-227.jpg] определяет линейный непрерывный обратимый оператор в l2. Если в Р. с. переставить произвольно члены, то получится Р. с. Обратно, если базис в L2 остается базисом после любой перестановки его членов, то, нормируя его, получают Р. с. Естественное обобщение Р. с. получают, если заменить L2 на замыкание линейной оболочки системы {yn} по норме того гильбертова пространства, из к-рого взяты элементы yn (см. [4]).