Рисса теорема выпуклости

логарифм In М(a, b) точной верхней грани модуля М(a, b) билинейной формы [img: http://localhost:8080/file/041884-19.jpg] на множестве [img: http://localhost:8080/file/041884-20.jpg] (если a=0 или b=0, то соответственно [img: http://localhost:8080/file/041884-21.jpg], тили [img: http://localhost:8080/file/041884-22.jpg]) является выпуклой функцией от параметров a и b в области [img: http://localhost:8080/file/041884-23.jpg], если форма действительна [img: http://localhost:8080/file/041884-24.jpg], и в области [img: http://localhost:8080/file/041884-25.jpg], если форма комплексна [img: http://localhost:8080/file/041884-26.jpg]. Эта теорема была доказана М. Риссом [1]. Обобщение Р. т. в. на линейные операторы (см. [3]): пусть [img: http://localhost:8080/file/041884-27.jpg],- совокупность всех комплексозначных суммируемых в р-й степени при [img: http://localhost:8080/file/041884-28.jpg] и существенно ограниченных при [img: http://localhost:8080/file/041884-29.jpg] функций на нек-ром пространстве с мерой; пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/041884-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-31.jpg],- линейный непрерывный оператор; тогда Тявляется непрерывным оператором из [img: http://localhost:8080/file/041884-32.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041884-33.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041884-34.jpg] и норма kt оператора Т(как оператора из [img: http://localhost:8080/file/041884-35.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041884-36.jpg]) удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/041884-37.jpg] (т. е. является логарифмически выпуклой функцией). Эту теорему наз. т е о р е м о й Р и с с а - Т о р и н а об интерполяции, но иногда т е о р е м о й в ы п у к л о с т и Р и с с а [4]. Р. т. в. явилась отправным пунктом для целого направления в анализе, где изучаются интерполяционные свойства линейных операторов. Среди первых из обобщений Р. т. в.- т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а об интерполяции [5], к-рая гарантирует при [img: http://localhost:8080/file/041884-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-39.jpg], непрерывность оператора [img: http://localhost:8080/file/041884-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-41.jpg], при более слабых предположениях, чем в теореме Рисса - Торина. См. также Интерполирование операторов.