Ритца метод

- метод решения задач вариационного исчисления и вообще бесконечномерных задач на экстремум, основанный на минимизации функционала на конечномерных подпространствах или многообразиях. Пусть поставлена задача нахождения точки минимума ограниченного снизу функционала [img: http://localhost:8080/file/041884-56.jpg] на сепарабельном банаховом пространстве U. Задается нек-рая (т. [img: http://localhost:8080/file/041884-60.jpg] определяются из условия минимальности J (и п)среди элементов указанного вида. Вместо координатной системы можно задать последовательность подпространств [img: http://localhost:8080/file/041884-61.jpg], не обязательно вложенных друг в друга. Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/041884-62.jpg], А - самосопряженный, положительно определенный, вообще говоря, неограниченный оператор в H, а Н А - гильбертово пространство, получаемое пополнением области определения [img: http://localhost:8080/file/041884-63.jpg] оператора Апо норме [img: http://localhost:8080/file/041884-64.jpg], порожденной скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/041884-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-66.jpg]. Пусть нужно решить задачу [img: http://localhost:8080/file/041884-67.jpg] (1) Она равносильна задаче отыскания точки минимума квадратичного функционала [img: http://localhost:8080/file/041884-68.jpg] к-рый можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/041884-69.jpg] где и 0=А -1f- решение уравнения (1). Пусть [img: http://localhost:8080/file/041884-70.jpg], n=1, 2,...,- замкнутые (обычно конечномерные) подпространства такие, что [img: http://localhost:8080/file/041884-71.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-72.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/041884-73.jpg], где Р п - ортопроектор в HA, проектирующий на Н п. Минимизируя Ф в Н п, получают ритцовское приближение и n=Р п и0 к решению уравнения (1); при этом [img: http://localhost:8080/file/041884-74.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-75.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041884-76.jpg] - базис Н n, то коэффициенты элемента [img: http://localhost:8080/file/041884-77.jpg] (2) определяются из линейной системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/041884-78.jpg] (3) К ритцовскому приближению можно прийти и минуя вариационную формулировку задачи (1). А именно, определив приближение (2) из условий [img: http://localhost:8080/file/041884-79.jpg] (м е т о д Г а л е р к и н а), приходят к той же системе уравнений (3). Поэтому Р. м. для уравнения (1) иногда наз. м е т о д о м Р и т ц а - Г а л е р к и н а. Р. м. широко применяется и при решении задач на собственные значения, краевых задач и вообще операторных уравнений. Пусть Аи В - самосопряженные операторы в Н, причем А положительно определен, Вположителен, [img: http://localhost:8080/file/041884-80.jpg] и оператор А -1 Ввполне непрерывен в пространстве Н A. В силу наложенных условий А -1 В самосопряжен и положителен в HA и спектр задачи [img: http://localhost:8080/file/041884-81.jpg] (4) состоит из положительных собственных значений: [img: http://localhost:8080/file/041884-82.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-83.jpg] Р. м. основан на вариационной характеризации собственных значений. Напр., [img: http://localhost:8080/file/041884-84.jpg] и, проведя минимизацию лишь по подпространству [img: http://localhost:8080/file/041884-85.jpg], получают ритцовские приближения [img: http://localhost:8080/file/041884-86.jpg] к l1, и1. Если [img: http://localhost:8080/file/041884-87.jpg], как и выше, базис Н п, то ритцовские приближения [img: http://localhost:8080/file/041884-88.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/041884-89.jpg], определяются из уравнения [img: http://localhost:8080/file/041884-90.jpg] а вектор коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/041884-91.jpg] приближения [img: http://localhost:8080/file/041884-92.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/041884-93.jpg] определится как нетривиальное решение линейной однородной системы [img: http://localhost:8080/file/041884-94.jpg]. Р. м. приближает собственные значения сверху, то есть [img: http://localhost:8080/file/041884-95.jpg], k=l,..., п. Если k-е собственное значение задачи (4) простое [img: http://localhost:8080/file/041884-96.jpg], то быстрота сходимости Р. м. характеризуется соотношениями [img: http://localhost:8080/file/041884-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-98.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-99.jpg]. Подобные соотношения распространяются и на случай кратного [img: http://localhost:8080/file/041884-100.jpg], но требуют нек-рых уточнений (см. [2]). В. Ритц [4] предложил свой метод в 1908, но ранее Рэлей (Rayleigh) применял этот метод при решении нек-рых задач на собственные значения. В связи с этим Р. м. часто наз. м е т о д о м Р э л е я - Р и т ц а, особенно, если речь идет о решении проблемы собственных значений.