Риччи кривизна

р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е [img: http://localhost:8080/file/041884-122.jpg] - число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М р по формуле [img: http://localhost:8080/file/041884-123.jpg] где cR - Риччи тензор, v - вектор, порождающий одномерное подпространство, g - метрич. тензор риманова многообразия М. Р. к. выражается через секционные кривизны многообразия М. Пусть K р(a,b) - секционная кривизна в точке [img: http://localhost:8080/file/041884-124.jpg] в направлении площадки, определяемой векторами a и b, l1,..., ln-1 - нормированные векторы, ортогональные друг другу и вектору v, п- размерность М, тогда [img: http://localhost:8080/file/041884-125.jpg] Для многообразий Мразмерности больше двух имеет место следующее предложение: если Р. к. в точке [img: http://localhost:8080/file/041884-126.jpg] имеет одно и то же значение r по всем направлениям v, то Р. к. имеет одно и то же значение rво всех точках многообразия. Многообразия с постоянной Р. к. наз. п р о с т р а н с т в а м и Э й н ш т е й н а. Тензор Риччи пространства Эйнштейна имеет вид cR = rg, где r - Р. к. Для пространства Эйнштейна выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/041884-127.jpg] где Rij, Rij - ковариантные и контравариантные координаты тензора Риччи, п - размерность пространства, s - скалярная кривизна пространства. Р. к. может быть определена и на псевдоримановых многообразиях с помощью аналогичных формул, в этом случае вектор предполагается неизотропным. По Р. к. однозначно восстанавливается тензор Риччи: [img: http://localhost:8080/file/041884-128.jpg]