Риччи тождество

- 1) Тождество, выражающее одно из свойств Римана тензора [img: http://localhost:8080/file/041884-138.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041884-139.jpg] Для ковариантного тензора [img: http://localhost:8080/file/041884-140.jpg] тождество имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041884-141.jpg] т. е. циклирование по трем первым индексам дает нуль. 2) Тождество, к-рому должны удовлетворять ковариантные производные 2-го порядка относительно метрич. тензора gij риманова пространства Vn, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если li - тензор 1-й валентности, [img: http://localhost:8080/file/041884-142.jpg] - ковариантная производная 2-го порядка по xj и по [img: http://localhost:8080/file/041884-143.jpg] относительно тензора gji, то Р. т. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041884-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-145.jpg] - тензор Римана, определяемый метрич. тензором gij, то есть в метрике пространства Vn (иными словами, альтернированная 2-я абсолютная производная тензорного поля li в метрике gij выражается через тензор Римана и компоненты li). Для ковариантного тензора 2-й валентности aij Р. т. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041884-146.jpg] Вообще, для ковариантного тензора m-й валентности ar1...rm тождество имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041884-147.jpg] Аналогичные тождества образуются и для ковариантных и смешанных тензоров в Vn. Р. т. применяется, напр., при построении геометрии подпространств в V п в качестве условия интегрируемости основных деривариационных уравнений, из к-рого выводятся уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци для подпространств в Vn. Тождество установлено Г. Риччи (см. [1]).