Робена задача

з а д а ч а р а в н о в е с и я, э л е к т р о с т а т и ч е с к а я з а д а ч а,- задача о таком распределении положительной борелевской меры l. на границе Sкомпакта Kв n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041884-148.jpg], к-рое создает постоянный ньютонов потенциал при п> 2 или логарифмический потенциал при n = 2 на каждой из связных компонент внутренности K, т. е. задача о равновесном распределении электрич. заряда l(K). на поверхности Sпроводника K. В простейшем классич. случае, когда Kесть гомеоморфная шару замкнутая область в [img: http://localhost:8080/file/041884-149.jpg], ограниченная гладкой простой замкнутой поверхностью или (при n=2) кривой Sкласса [img: http://localhost:8080/file/041884-150.jpg], решение Р. з. сводится к отысканию нетривиального решения [img: http://localhost:8080/file/041884-151.jpg], однородного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/041884-152.jpg] (1) с условием нормировки [img: http://localhost:8080/file/041884-153.jpg] (2) Здесь [img: http://localhost:8080/file/041884-154.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-155.jpg] - расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/041884-156.jpg] - направление внешней нормали к Sв точке [img: http://localhost:8080/file/041884-157.jpg] - производная, или плотность, абсолютно непрерывной меры l по мере Лебега на S, [img: http://localhost:8080/file/041884-158.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041884-159.jpg] - элемент площади поверхности S. Уравнение (1) получается при рассмотрении внутренней задачи Неймана для области с границей Sпри нулевых граничных данных, т. к. потенциал простого слоя [img: http://localhost:8080/file/041884-160.jpg] называемый, п о т е н ц и а л о м Р о б е н а, или равновесным потенциалом, должен, по условию Р. з., иметь постоянное значение на K (см. Потенциала теория, а также [2]). Решение v(x) задачи (1), (2) при указанных условиях всегда существует в классе непрерывных функций C(S). Мера [img: http://localhost:8080/file/041884-161.jpg] дающая решение Р. з., наз. равновесной м е р о й. Аналогично решается Р. з. и в более сложном случае, когда граница компакта K состоит из конечного числа непересекающихся простых замкнутых поверхностей или (при n = 2) кривых класса С 1,a, 0 <a < 1 (см. [2]). При этом на ограниченных связных компонентах открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041884-162.jpg] потенциал Робена и(х)также сохраняет постоянное значение, т. е. на границах этих компонент плотность v(x)=0. Пусть компакт K есть связное множество. Постоянное значение потенциала Робена и(х)на K [img: http://localhost:8080/file/041884-163.jpg] наз. п о с т о я н н о й Р о б е н а компакта K. При [img: http://localhost:8080/file/041884-164.jpg] она связана с гармонической, или ньютоновой, емкостью компакта Kпростым соотношением С(К)== 1/g, причем [img: http://localhost:8080/file/041884-165.jpg]. При n=2 постоянная Робена может принимать все значения [img: http://localhost:8080/file/041884-166.jpg], гармонич. емкость выражается формулой C(K)=e-g. Иначе, равновесная мера l определяется как мера, дающая минимум интегралу энергии [img: http://localhost:8080/file/041884-167.jpg] в классе всех мер m, сосредоточенных на K и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041884-168.jpg]. Такая мера l в случае компакта Kсгладкой границей совпадает с найденной выше, но она существует и в общем случае произвольного компакта [img: http://localhost:8080/file/041884-169.jpg], если только С(K)> 0. Соответствующий р а в н о в е с н ы й п о т е н ц и а л [img: http://localhost:8080/file/041884-170.jpg] являющийся обобщением потенциала Робена, сохраняет постоянное значение g=1/C(K)при [img: http://localhost:8080/file/041884-171.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041884-172.jpg] при п=2 всюду на K, за возможным исключением точек нек-рого множества емкости нуль. Название Р. з. связано с исследованиями Г. Робена (см. [1]).