Род кривой

- численный инвариант одномерного алгебраич. многообразия, определенного над полем k. Род g гладкой полной алгебраич. кривой Xравен размерности пространства регулярных дифференциальных 1-форм на X. Род алгебраич. кривой X, по определению, равен роду полной гладкой алгебраич. кривой, бирационально изоморфной кривой X. Для любого целого [img: http://localhost:8080/file/041884-211.jpg] существует алгебраич. кривая рода g. Алгебраич. кривая над алгебраически замкнутым полем рода g=0 является рациональной кривой, т.. е. бирационально изоморфна проективной прямой Р 1. Кривые рода g=1. (эллиптич. кривые) бирационально изоморфны гладким кубич. кривым в Р 2. Алгебраич. кривые рода g> 1 распадаются на два класса: гиперэллиптич. кривые и негиперэллиптич. кривые. Для негиперэллиптич. кривых Xрациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/041884-212.jpg], определяемое канонич. классом KX полной гладкой кривой, является изоморфным вложением. Для гиперэллиптич. кривой Xотображение [img: http://localhost:8080/file/041884-213.jpg] является двулистным накрытием рациональной кривой [img: http://localhost:8080/file/041884-214.jpg], разветвленным в 2g+2 точках. Если X - проективная плоская кривая степени т, то [img: http://localhost:8080/file/041885-1.jpg] где d - неотрицательное целое число, измеряющее отклонение от гладкости кривой X. Если Xимеет только обыкновенные двойные особые точки, то d равно числу особых точек алгебраич. кривой X. Для пространственной кривой Xимеет место оценка [img: http://localhost:8080/file/041885-2.jpg] где т- степень кривой Xв Р 3. Если [img: http://localhost:8080/file/041885-3.jpg] - поле комплексных чисел, то алгебраич. кривая X может быть рассмотрена как риманова поверхность. В этом случае гладкая полная кривая Xрода gгомеоморфна сфере с gручками.