Ромберга метод

п р а в и л о Р о м б е р г а,- метод вычисления определенного интеграла, основанный на Ричардсона экстраполяции. Пусть вычисляется значение I нек-рого функционала, при этом вычисляемое приближенное значение Т(h)зависит от параметра h, так что в результате вычисления получается приближенное равенство [img: http://localhost:8080/file/041885-36.jpg]. Пусть известна информация о поведении разности I - Т(h). как функции от h, а именно: [img: http://localhost:8080/file/041885-37.jpg] (1) где т - натуральное число и a зависит от приближаемого функционала и той функции, на к-рой он вычисляется, от способа приближения и (слабо) от h. Если наряду с Т(h)вычислено Т(2h),то способ Ричардсона дает для Iприближение [img: http://localhost:8080/file/041885-38.jpg] (2) Это приближение тем лучше, чем слабее a из равенства (1) зависит от h. В частности, если a от h не зависит, то и (2) имеет место точное равенство. Р. м. применяется к вычислению интеграла [img: http://localhost:8080/file/041885-39.jpg] Промежуток [0, 1] взят для простоты записи, он может быть любым конечным. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041885-40.jpg] (3) Вычисления в Р. м. сводятся к составлению следующей таблицы: [img: http://localhost:8080/file/041885-41.jpg] где первый столбец состоят из квадратурных сумм (3) формулы трапеций. Элементы (l+2)-го столбца получаются из элементов (l+l)-гo столбца по формуле [img: http://localhost:8080/file/041885-42.jpg] (4) При составлении таблицы главная часть вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов первого столбца. Элементы следующих столбцов вычисляются чуть сложнее конечных разностей. Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/041885-43.jpg] таблицы есть квадратурная сумма, приближающая интеграл [img: http://localhost:8080/file/041885-44.jpg] (5) Узлами квадратурной суммы [img: http://localhost:8080/file/041885-45.jpg] являются точки [img: http://localhost:8080/file/041885-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041885-47.jpg], а ее коэффициенты - положительные числа. Квадратурная формула (5) точна для всех многочленов степени не выше 2l+1. В предположении, что подинтегральная функция f(x)имеет непрерывную производную порядка 2l+2на [0, 1], разность [img: http://localhost:8080/file/041885-48.jpg] имеет представление вида (1), в к-ром т=2l+2. Отсюда следует, что элементы (l+2)-гo столбца, вычисляемые по формуле (4), являются улучшениями по Ричардсону элементов (l+l)-гo столбца. В частности, для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление [img: http://localhost:8080/file/041885-49.jpg] и способ Ричардсона дает более точное приближение к I: [img: http://localhost:8080/file/041885-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041885-51.jpg] оказывается квадратурной суммой формулы Симпсона, и т. к. для погрешности этой формулы справедливо представление [img: http://localhost:8080/file/041885-52.jpg] то снова можно воспользоваться способом Ричардсона и т. д. В Р. м. в качестве приближения к I берется Т 0п, при этом предполагается, что существует непрерывная производная f(2n) (х)на [0, 1]. Ориентировочное представление о точности приближения Т 0п можно получить, сравнивая T0n и T1, n_1. Впервые метод изложен В. Ромбергом [1].