Рунге теорема

- теорема о возможности полиномиальных приближений голоморфных функций, впервые доказанная К. Рунге (С. Runge, 1885). Пусть D - односвязная область на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, голоморфная в D, приближается равномерно внутри Dмногочленами от z. Точнее, для любого компакта [img: http://localhost:8080/file/041885-68.jpg] и любого e > 0 найдется многочлен р(z) с комплексными коэффициентами такой, что [img: http://localhost:8080/file/041885-69.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041885-70.jpg]. В иной формулировке: любая функция f, голоморфная в односвязной области [img: http://localhost:8080/file/041885-71.jpg], представляется в виде ряда из многочленов от z, абсолютно и равномерно сходящегося к f внутри D. Эквивалентная формулировка Р. т.: пусть K - компакт на комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041885-72.jpg] со связным дополнением [img: http://localhost:8080/file/041885-73.jpg]; тогда всякая функция, голоморфная в окрестности K, равномерно на Kприближается многочленами от z. В такой форме Р. т. есть частный случай Мергеляна теоремы. Р. т. наз. также следующая теорема о рациональных приближениях: всякая функция f, голоморфная в области [img: http://localhost:8080/file/041885-74.jpg], равномерно внутри Dприближается рациональными функциями с полюсами вне D. Р. т. имеет многочисленные применения в теории функций комплексного переменного и в функциональном анализе. Аналог Р. т. справедлив на некомпактных римановых поверхностях. Обобщением Р. т. для функций многих комплексных переменных является теорема Ока - Вейля (см. Ока теоремы).