Свободное множество

в векторном пространстве Х над полем K - то же, что линейно независимая система векторов из X, т. е. множество элементов [img: http://localhost:8080/file/041902-89.jpg], такое, что соотношение [img: http://localhost:8080/file/041902-90.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041902-91.jpg] для всех кроме конечного числа индексов t,влечет [img: http://localhost:8080/file/041902-92.jpg] для всех t. Несвободное множество наз. также з а в и с и м ы м. С в о б о д н о е м н о ж е с т в о в топологическом векторном пространстве X над полем К(топологически свободное множество) - множество [img: http://localhost:8080/file/041902-93.jpg] такое, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041902-94.jpg] замкнутое подпространство, порожденное точками [img: http://localhost:8080/file/041902-95.jpg], не содержит а s. Топологически С. м. является С. м. векторного пространства; обратное неверно. Напр., в нормированном пространстве Снепрерывных функций на [0, 1] функции [img: http://localhost:8080/file/041902-96.jpg], образуют топологически С. м. в отличие от функций [img: http://localhost:8080/file/041902-97.jpg] (поскольку хсодержится в замкнутом подпространстве, порожденном [img: http://localhost:8080/file/041902-98.jpg]). Совокупность всех (топологически) С. м. в X, вообще говоря, не индуктивна относительно включения; кроме того, она не обязательно содержит максимальное топологически С. м. Напр., пусть X - пространство над [img: http://localhost:8080/file/041902-99.jpg], образованное непрерывными функциями и наделенное отделимой топологией: соответствующая фундаментальная система окрестностей нуля в Xсостоит из уравновешенных поглощающих множеств [img: http://localhost:8080/file/041902-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041902-101.jpg] всюду вне (зависящего от f) открытого множества меры [img: http://localhost:8080/file/041902-102.jpg]. Тогда каждый непрерывный линейный функционал равен нулю и в Xне существует максимального С. м. Для того чтобы Абыло (топологически) С. м. в ослабленной топологии s(Х, X*)в X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого t существовал элемент [img: http://localhost:8080/file/041902-103.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/041902-104.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041902-105.jpg] Для локально выпуклого пространства С. м. в ослабленной топологии является С. м. и в исходной топологии. М. И. Войцеховский.