Связности форма

- линейная дифференциальная форма в на главном расслоенном пространстве Р, к-рая принимает значения в алгебре gструктурной группы Gпространства Р, определяется нек-рой линейной связностью Г в Р и сама определяет эту связность однозначно. По связности Г значение С. ф. qy (Y), где [img: http://localhost:8080/file/041903-58.jpg], определяется как тот элемент в g,к-рый в действии Gна Рпорождает вторую компоненту вектора Yотносительно прямого расслоения Т y (Р)= [img: http://localhost:8080/file/041903-59.jpg], где G у- слой, содержащий у, а [img: http://localhost:8080/file/041903-60.jpg] - горизонтальное распределение связности Г. По С. ф. q горизонтальное распределение [img: http://localhost:8080/file/041903-61.jpg], а тем самым и связность Г, восстанавливается следующим образом. Т е о р е м а К а р т а н а - Л а п т е в а. Чтобы нек-рая форма q на Р со значениями в g была С. ф., необходимо и достаточно следующее: 1) при [img: http://localhost:8080/file/041903-62.jpg] значением qy (Y)является тот элемент в g, к-рый в действии G на Р порождает Y,2) g- значная 2-форма [img: http://localhost:8080/file/041903-63.jpg] составленная из q, является полубазовой, или горизонтальной, т. [img: http://localhost:8080/file/041903-66.jpg] где w1,..., wn - нек-рые линейно независимые полубазовые 1-формы. В такой форме необходимость условия 2) установил Э. Картан [1]; его достаточность при выполнении условия 1) доказал Г. Ф. Лаптев [2]. Уравнения (*) на компоненты С. ф. наз. структурными уравнениями связности в Р, в них [img: http://localhost:8080/file/041903-67.jpg] составляют о б ъ е к т к р и в и з н ы. Пусть Р, в качестве примера, является пространством аффинных реперов в касательных пространствах n-мерного гладкого многообразия М. Тогда Gи g являются соответственно группой и алгеброй Ли матриц вида [img: http://localhost:8080/file/041903-68.jpg] И [img: http://localhost:8080/file/041903-69.jpg] В силу теоремы Картана - Лаптева g-значная 1-форма [img: http://localhost:8080/file/041903-70.jpg] на Р является С. ф. нек-рой аффинной связности на Мтогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041903-71.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/041903-72.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041903-73.jpg] составляют соответственно тензор кручения и тензор кривизны аффинной связности на М. Последние два уравнения на компоненты С. ф. наз. структурными уравнениями полученной на Маффинной связности.