Сепарабельный процесс

случайный процесс, поведение траекторий к-рого по существу определяется их поведением на нек-ром счетном пространстве. Именно, определенный на полном вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041905-85.jpg] действительный случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/041905-86.jpg], где Т - подмножество действительной прямой [img: http://localhost:8080/file/041905-87.jpg], сепарабелен относительно класса [img: http://localhost:8080/file/041905-88.jpg] подмножеств [img: http://localhost:8080/file/041905-89.jpg], если существует счетное множество [img: http://localhost:8080/file/041905-90.jpg] (с е п а р а н т а) и множество [img: http://localhost:8080/file/041905-91.jpg], такое, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041905-92.jpg] и любого открытого интервала [img: http://localhost:8080/file/041905-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-94.jpg] Наиболее важны понятия сепарабельности относительно класса замкнутых множеств и относительно класса замкнутых интервалов (в последнем случае процесс называется просто с е п а р а б е л ь н ы м). Если процесс [img: http://localhost:8080/file/041905-95.jpg] сепарабелен, то для любого [img: http://localhost:8080/file/041905-96.jpg] и любого открытого интервала [img: http://localhost:8080/file/041905-97.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-98.jpg] Каждое из свойств (1) - (4) равносильно сепарабельности. Если t - левая предельная точка множества T, то существует последовательность [img: http://localhost:8080/file/041905-99.jpg] точек из Ттакая, что [img: http://localhost:8080/file/041905-100.jpg] с вероятностью 1 (аналогично для пределов справа). Если Xt - сепарабельный случайный процесс, непрерывный по вероятности, то любое всюду плотное в Тсчетное множество [img: http://localhost:8080/file/041905-101.jpg] является сепарантой; кроме того, для любого открытого интервала I, [img: http://localhost:8080/file/041905-102.jpg] и любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/041905-103.jpg] конечконечных подмножеств IT, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041905-104.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-105.jpg] (5) по вероятности. Сходимость в (5) можно заменить сходимостью с вероятностью 1, если Х t непрерывен с вероятностью 1. Для всякого случайного процесса [img: http://localhost:8080/file/041905-106.jpg], существует на том же вероятностном пространстве сепарабельный относительно класса замкнутых множеств процесс [img: http://localhost:8080/file/041905-107.jpg], принимающий значения из расширенной числовой прямой, и такой, что [img: http://localhost:8080/file/041905-108.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-109.jpg]. Понятие сепарабельности и его свойства обобщаются на процессы, у к-рых Ти область значений суть различные общие топологич. пространства. Переход к С. п. позволяет утверждать применимость ряда важных функционалов и множеств, связанных с процессом. Альтернативный подход состоит не в изменении случайных величин, образующих процесс, а в расширении s-алгебры, на к-рой он определен (напр., в случае функционального пространства - произведения хаусдорфовых компактов меру с обычной s-алгебры, порожденной цилиндрич. множествами, можно однозначно продолжить на весьма богатую s-алгебру борелевских множеств).