Сжатий полугруппа

- однопараметрически сильно непрерывная полугруппа T(t), [img: http://localhost:8080/file/041906-140.jpg], Т(0)=I, линейных операторов в банаховом пространстве E, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041906-141.jpg]. Плотно определенный в Еоператор Абудет производящим оператором (г е н е р а т о р о м) С. п. тогда и только тогда, когда выполнено условие Хилле - Иосиды [img: http://localhost:8080/file/041906-142.jpg] при всех l>0. В других терминах: плотно определенный оператор А - генератор С. п. тогда и только тогда, когда он является максимальным диссипативным оператором. Детально изучены С. п. в гильбертовом пространстве Н. Частными видами С. п. являются полугруппы изометрий [img: http://localhost:8080/file/041906-143.jpg], унитарные полугруппы (Т*(t)=T-1(t)), самосопряженные полугруппы (Т*(t)=T(t)), нормальные полугруппы (Т*(t)T(t)=Т(t)T*(t)). Вместо генератора Аиногда удобно рассматривать его п р е о б р а з о в а н и е К э л и: B=(A+I)(A-I)-1 (к о г е н е р а т о р). Оказывается, что полугруппа будет полугруппой изометрий, унитарной, самосопряженной, нормальной полугруппой тогда и только тогда, когда когенератор соответственно будет изометрическим, унитарным, самосопряженным, нормальным оператором. С. п. наз. в п о л н е н е у н и т а р н о й, если ее сужение на любое инвариантное подпространство не является унитарным. Для вполне неунитарной полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041906-144.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041906-145.jpg] и любых [img: http://localhost:8080/file/041906-146.jpg]. Для того чтобы С. п. была вполне неунитарной, достаточно, чтобы она была устойчивой, т. е. чтобы [img: http://localhost:8080/file/041906-147.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041906-148.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041906-149.jpg]. Для всякой С. п. T(t) существует такое ортогональное разложение [img: http://localhost:8080/file/041906-150.jpg] на инвариантные относительно Т(t)подпространства, что на Н 1 полугруппа унитарна, а на Н 2 вполне неунитарна. Если Т(t)есть С. п. в гильбертовом пространстве Н, то существует более широкое гильбертово пространство [img: http://localhost:8080/file/041906-151.jpg], содержащее Нкак подпространство, и в нем такая унитарная группа [img: http://localhost:8080/file/041906-152.jpg], что Т(t)=PU(t)при [img: http://localhost:8080/file/041906-153.jpg], где Р - ортогональный проектор из [img: http://localhost:8080/file/041906-154.jpg] на Н. Группа U(t)наз. унитарной дилатацией полугруппы T(t). Дилатация определяется однозначно с точностью до изоморфизма, если потребовать, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041906-155.jpg] совпадало с замкнутой линейной оболочкой множества [img: http://localhost:8080/file/041906-156.jpg] (минимальная дилатация). Пусть N - гильбертово пространство и [img: http://localhost:8080/file/041906-157.jpg] - гильбертово пространство всех измеримых N-значных функций [img: http://localhost:8080/file/041906-158.jpg], с интегрируемым квадратом нормы. В этом пространстве определена унитарная группа двустороннего сдвига (U(t)f)(s)=f(s-t). Аналогично, в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041906-159.jpg] определена полугруппа одностороннего сдвига [img: http://localhost:8080/file/041906-160.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041906-161.jpg] и 0 при [img: http://localhost:8080/file/041906-162.jpg] Всякая вполне неунитарная полугруппа изометрий изоморфна одностороннему сдвигу в [img: http://localhost:8080/file/041906-163.jpg], при нек-ром вспомогательном пространстве N. Если Т(t) - вполне неунитарная С. п. и U(t) - ее минимальная унитарная дилатация, то на нек-ром инвариантном подпространстве [img: http://localhost:8080/file/041906-164.jpg] (а если Т(t)устойчива, то и на всем [img: http://localhost:8080/file/041906-165.jpg]) группа изоморфна двустороннему сдвигу. О полугруппах сжатия с нелинейными операторами см. Полугруппа нелинейных операторов.