Символ оператора

- скалярная или матричная функция, ассоциированная с оператором и обладающая свойствами, в той или иной форме отражающими свойства этого оператора. Обычно считается, что С. о. заданы для операторов, принадлежащих нек-рой алгебре. Тогда, как правило, при сложении операторов их символы складываются, а при умножении - перемножаются с точностью до членов, в нек-ром смысле являющихся младшими, но иногда и точно. Бывает, что С. о.- это функция со значениями в нек-рой алгебре (в частности, операторной алгебре), более простой, чем исходная. Обычно символы ассоциируются с операторами, действующими в функциональных пространствах. Тогда одна из типичных ситуаций состоит в том, что если оператор действует на функции от ппеременных (или, более общо, на функции на n-мерном многообразии), то его символ - функция от 2ппеременных (или на 2n-мерном многообразии). На основе использования таких С. о. строится теория псевдодифференциалъных операторов. Соответствие между символами и операторами является основой квантования, при к-ром символ является классич. величиной, а сам оператор - соответствующей квантовой величиной. С и м в о л ы о п е р а т о р о в в [img: http://localhost:8080/file/041907-42.jpg]. Пусть дан полином [img: http://localhost:8080/file/041907-43.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041907-44.jpg], q = (q1,..., qn), p =(p1,..., р п)- муль-тииндексы (т. е., напр., a=(al..., an), [img: http://localhost:8080/file/041907-45.jpg], aj - целые, [img: http://localhost:8080/file/041907-46.jpg]. Тогда по нему несколькими различными способами можно построить оператор А, действующий на функциях на [img: http://localhost:8080/file/041907-47.jpg] подставляя вместо qj оператор [img: http://localhost:8080/file/041907-48.jpg] умножения на одну из координат xj в [img: http://localhost:8080/file/041907-49.jpg], а вместо р j - оператор [img: http://localhost:8080/file/041907-50.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/041907-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041907-52.jpg], h- произвольная постоянная (играющая роль постоянной Планка). Если при этом менять порядок букв qи р, то получатся разные операторы. Если положить [img: http://localhost:8080/file/041907-53.jpg] то a(q, р)наз. qp- символом, или левым символом оператора А. Получаемое таким образом соответствие между левыми символами и операторами является взаимно однозначным соответствием между полиномами и дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами и может быть распространено на значительно более широкие классы операторов и символов, если воспользоваться формулой [img: http://localhost:8080/file/041907-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041907-55.jpg] для n-мерных векторов z=(z1..., zn) и x=(x1,..., x п), dy=dy1,...., dyn, dx=dx1... dxn. Оператор Ас pq-cи м в о л о м, или правым символом a(q, р)определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041907-56.jpg] пли для более общих символов [img: http://localhost:8080/file/041907-57.jpg] Более симметричный способ построения оператора по полиному a(q, р)получается, если ввести для некоммутирующих операторов В, С симметризованное произведение [img: http://localhost:8080/file/041907-58.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/041907-59.jpg] а затем положить [img: http://localhost:8080/file/041907-60.jpg] Тогда a(q, р)наз. символом Вейля оператора А. Оператор Аможет быть записан через символ Вейля по формуле [img: http://localhost:8080/file/041907-61.jpg] Вторичное квантование приводит к появлению еще двух видов символов операторов на [img: http://localhost:8080/file/041907-62.jpg] -виковского и антивиковского. А именно, если ввести операторы рождения [img: http://localhost:8080/file/041907-63.jpg] и операторы уничтожения [img: http://localhost:8080/file/041907-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041907-65.jpg] и записать дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в виде или в виде [img: http://localhost:8080/file/041907-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041907-67.jpg] то его виковский символ c(q, р)и антивиковский символ a(q, р)задаются соответственно формулами [img: http://localhost:8080/file/041907-68.jpg] О формулах, связывающих разные виды символов одного и того же оператора, см. в [1] - [4]. Символы операторов на многообразии. Если символы описанных выше типов на [img: http://localhost:8080/file/041907-69.jpg] взаимно однозначно соответствуют операторам нек-рых достаточно широких классов, то на многообразии, как правило, нет естественных символов, для к-рых существовало бы такое взаимно однозначное соответствие. На многообразии важную роль играет т. н. главный символ, к-рый определяется для нек-рых псевдодифференциальных операторов и является однородной функцией на [img: http://localhost:8080/file/041907-70.jpg] - кокасательном расслоении многообразия X без нулевого сечения. Его обратимость означает, что рассматриваемый оператор Аявляется эллиптическим и гарантирует выполнение теоремы регулярности, т. е. гладкости решений уравнения Au=f с гладкой правой частью f, а также фредгольмовость оператора А(в случае компактного X)в подходящих пространствах Соболева. При сложении и умножении операторов их главные символы соответственно складываются и перемножаются. Главный символ не меняется при добавлении к оператору членов меньшего порядка. Символы операторов на многообразии с краем. На многообразии с краем Xпсевдодифференциальный оператор имеет вид матрицы (см. [5]): [img: http://localhost:8080/file/041907-71.jpg] где E1, Е2 - векторные расслоения на X, G1G2 - векторные расслоения на Y, А - псевдодифференциальный оператор на X,удовлетворяющий трансмиссии условию, Т - граничный оператор, т. е. оператор взятия каких-то граничных условий (вообще говоря, псевдодифференциальных), K - кограничный оператор, или оператор типа потенциала, В - сингулярный оператор Грина (так называются композиции граничных и кограничных операторов и нек-рые более общие операторы аналогичной структуры), (Q- псевдодифференциальный оператор на Y. Оператор [img: http://localhost:8080/file/041907-72.jpg] имеет символы двух типов: внутренний и граничный: Внутренний символ [img: http://localhost:8080/file/041907-73.jpg] - это обычный символ оператора А, являющийся функцией на [img: http://localhost:8080/file/041907-74.jpg], точнее, сечением расслоения Hom (p*E1, p*E2), где [img: http://localhost:8080/file/041907-75.jpg] - канонич. проекция. Граничный символ [img: http://localhost:8080/file/041907-76.jpg] - это функция на [img: http://localhost:8080/file/041907-77.jpg], значения к-рой - операторы на полуоси [img: http://localhost:8080/file/041907-78.jpg], получающиеся из [img: http://localhost:8080/file/041907-79.jpg] замораживанием коэффициентов главной части в точке границы (в координатах, в к-рых граница является гиперплоскостью) и последующим преобразованием Фурье по касательным переменным. Обратимость [img: http://localhost:8080/file/041907-80.jpg] - это обычная эллиптичность оператора А. Если предположить эту эллиптичность, то обратимость [img: http://localhost:8080/file/041907-81.jpg] в классах убывающих функций на полуоси - это фактически условие эллиптичности граничной задачи, определяемой оператором [img: http://localhost:8080/file/041907-82.jpg], или т. н. условие Шапиро-Лопатинского. Таким образом, символом [img: http://localhost:8080/file/041907-83.jpg] естественно называть пару [img: http://localhost:8080/file/041907-84.jpg]. Если обратимы оба символа [img: http://localhost:8080/file/041907-85.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041907-86.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041907-87.jpg] наз. эллиптическим, и в этом случае для него верны обычные теоремы о регулярности и фредгольмовости (последняя - когда Xкомпактно).