Симметрии принцип

принцип симметрии Шварца, принцип симметрии Римана-Шварца для аналитических функций: пусть область Gрасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041907-115.jpg] ограничена замкнутой жордановой кривой Г, в состав к-рой входит дуга lокружности Lрасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041907-116.jpg]. Пусть, далее, функция f(z) определена и непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/041907-117.jpg], аналитична в G,а на l принимает значения, принадлежащие нек-рой окружности Срасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041907-118.jpg] Тогда f(z) продолжается через дугу lв область G*,. симметричную с Gотносительно L, до функции, аналитической в области [img: http://localhost:8080/file/041907-119.jpg]. Такое продолжение (через l)единственно и определяется следующим свойством продолженной функции f(z): если точки [img: http://localhost:8080/file/041907-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041907-121.jpg] симметричны (инверсны) относительно L, то точки w=f(z) и w*=f(z*)симметричны относительно С. В частности, если Lи Ссовпадают с действительной осью плоскости [img: http://localhost:8080/file/041907-122.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041907-123.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041907-124.jpg]. Под окружностями расширенной комплексной плоскости понимаются как собственно окружности, так и прямые. Непрерывность также может пониматься как в обычном, так и в обобщенном смысле, т. е. когда f(z) наз. непрерывной в точке z0, если [img: http://localhost:8080/file/041907-125.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041907-126.jpg], независимо от конечности или бесконечности величины f(z0). Кривая Г, равно как и l, может проходить через точку [img: http://localhost:8080/file/041907-127.jpg]. По условию, [img: http://localhost:8080/file/041907-128.jpg], но не обязательно f(l)=C. Кроме того, если Gи G* имеют общие внутренние точки, то продолженная функция в этих точках.может быть неоднозначной. С. Обобщением С. п. на случай аналитич. дуг l(и С)является принцип Шварца аналитич. родолжения аналитических и гармонич. функций (см. [1], [2]). Обобщение С. п. для гармонич. функций на случай функции любого числа переменных наз. отражения принципом. С. п. широко используется в приложениях теории аналитических и гармонич. функций (при конформных отображениях областей с одной или несколькими осями симметрии, в теории упругости, гидромеханике, электростатике и т. д.).