Симметрическая группа

группа всех подстановок (биекций) нек-рого множества Xс операцией суперпозиции (см. Подстановок группа). С. г. подстановок множества Xобозначается S(X). Для равномощных Xи X' группы S(X).и S (X').подобны. В случае конечного множества X={1,2,..., n} С. г. обозначается Sn. Всякая абстрактная группа изоморфна подходящей подгруппе симметрич. группы S(X).нек-рого множества X(теорема Кэли). Пусть множество Xконечно. Всякая подстановка p на Xоднозначно записывается в виде произведения независимых или взаимно простых циклов (цикловая запись подстановки); числовой вектор z(p) =(a1, а 2,..., а n). где а i - число циклов длины i в цикловой записи подстановки p, наз. цикловым типом подстановки p. Две подстановки p и p' сопряжены в группе Sn тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же цикловой тип. Подстановки с цикловым типом { п-2, 2, 0,..., 0} наз. транспозициями; их совокупность является системой образующих группы Sn. Множество транспозиций S={(i, i+1)|i=l,..., n-1} является минимальной системой образующих (базой) для Sn. Вообще, множество [img: http://localhost:8080/file/041908-13.jpg] образует базу для Sn, если граф с Xв качестве множества вершин и с парами (ik, jk) в качестве ребер является деревом[2]. Число таких баз равно nn-2. Знакопеременная группа А n - нормальный делитель в группе Sn, причем если [img: http://localhost:8080/file/041908-14.jpg], то А n - единственный нетривиальный собственный нормальный делитель, а S4 содержит еще один нетривиальный нормальный делитель - четверную группу Клейна: K4={1, (1 2), (3 4), (1 3), (2 4), (1 4), (2 3)}. При [img: http://localhost:8080/file/041908-15.jpg] группа Sn разрешима, а при [img: http://localhost:8080/file/041908-16.jpg] неразрешима и А n - простая неабелева группа. Теорема Гёльдера: при [img: http://localhost:8080/file/041908-17.jpg] группа Sn совершенна (см. Совершенная группа). Группа S2 коммутативна, а группа S6, обладает внешним автоморфизмом порядка 2. Известны все максимальные интранзитивные и импримитивные подгруппы в Sn. Для всякого разбиения [img: http://localhost:8080/file/041908-18.jpg], максимальными интранзитивными в Sn будут все подгруппы Sm1+Sm2 и только они. Транзитивными импрмитивными максимальными подгруппами в Sn будут сплетения Sm1 с Sm2 (для всякого разложения n=m1m2) и только они. Примитивные максимальные подгруппы в Sn не описаны (1983), но известны нек-рые их бесконечные серии. Напр., группа Sn естественным образом действует на множестве [img: http://localhost:8080/file/041908-19.jpg] всех подмножеств мощности тмножества конечной мощности n; при [img: http://localhost:8080/file/041908-20.jpg] тем самым определяется примитивная группа подстановок множества [img: http://localhost:8080/file/041908-21.jpg]. Она максимальна в [img: http://localhost:8080/file/041908-22.jpg], если (т, п) [img: http://localhost:8080/file/041908-23.jpg] (2, 6), (2, 8), (3, 10), (4, 12), (т, 2т),(т,2m+1) (см. [1]). Другая серия (см. [6]) получается при рассмотрении группы Г Ln(GF(q)). полулинейных преобразований пространств G(F(q)).над конечным полем из qэлементов. Эта группа определяет примитивную группу подстановок Грассмана многообразия Gn,m(GF(q)), [img: http://localhost:8080/file/041908-24.jpg], к-рая максимальна в S (Gn,m(GF(q)).при [img: http://localhost:8080/file/041908-25.jpg]. Пусть X - бесконечное множество. Группа всех подстановок множества X, перемещающих лишь конечное число элементов из X, наз. финитной, или ограниченной симметрической, группой множества Xи обозначается SF(X), а ее подгруппа, состоящая из всех четных подстановок, наз. финитной, или ограниченной знакопеременной, группой множества Xи обозначается AF(X). Подгруппы SF(X).и АF(X).- нормальные делители в S(X). Более общо, пусть a - мощность множества Xи [img: http://localhost:8080/file/041908-26.jpg] - нек-рое бесконечное кардинальное число; совокупность всех подстановок множества X, перемещающих не более чем b элементов множества X, является подгруппой в S(X), обозначаемой Sb (X). Наряду с SF(X).и AF(X).группы Sb (X) - нормальные делители в S(X).для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-27.jpg], и других нетривиальных нормальных делителей у S(X).нет (теорема Шрейера - Улама - Бэра, см. [3]).