Симметрический оператор

отображение Амножества DA гильбертова пространства Н(в общем случае комплексного) в себя такое, что <Ах, у>=<х, Ау).для любых [img: http://localhost:8080/file/041908-57.jpg]. Если DA- линейное многообразие, всюду плотное в Н(что предполагается в дальнейшем), то Л - линейный оператор. Если DA=Н, то Аограничен и, следовательно, непрерывен на Н. С. о. А порождает на DA билинейную эрмитову форму В(х, у) =<Ах, у>, т. е. такую, что [img: http://localhost:8080/file/041908-58.jpg] Соответствующая квадратичная форма < Ах, x> действительна. Обратно, действительная на Од форма < Ах, х> влечет симметричность А. Сумма А+В С. о. Аи В с, общей областью определения DA=DB есть снова С. о., и если l действительно, то lA также симметричен. Для всякого С. о. Асуществует однозначно определенное замыкание [img: http://localhost:8080/file/041908-59.jpg] и сопряженный оператор [img: http://localhost:8080/file/041908-60.jpg]. В общем случае А* не является С. о. и [img: http://localhost:8080/file/041908-61.jpg]. Если А*=А, то С. о. наз. самосопряженным оператором. Таким будет, в частности, С. о., определенный на всем Н. С. о., ограниченный на DA, допускает продолжение на все Нс сохранением симметричности и ограниченности. Примеры. 1) Пусть бесконечная матрица ||aij||, i, j=1, 2,..., такова, что [img: http://localhost:8080/file/041908-62.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041908-63.jpg] Тогда система равенств [img: http://localhost:8080/file/041908-64.jpg] ставящая в соответствие элементу [img: http://localhost:8080/file/041908-65.jpg] элемент y={hi}, определяет ограниченный С. о., причем он оказывается самосопряженным в комплексном пространстве l2. 2) В комплексном пространстве L2(0, 1) оператор [img: http://localhost:8080/file/041908-66.jpg], определенный на множестве DA абсолютно непрерывных на [0, 1] функций, имеющих суммируемую с квадратом производную и удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, есть С. о., не являющийся самосопряженным.