Симметрическое пространство

общее название нескольких видов пространств, встречающихся в дифференциальной геометрии. 1) Многообразие с аффинной связностью наз. аффинным локально симметрическим пространством, если тождественно равны нулю тензор кручения и ковариантная производная тензора кривизны. 2) (Псевдо) риманово многообразие наз. (псевдо) рименовым локально спмметрическим пространством, если ковариантная производная тензора его кривизны тождественно равна нулю. 3) Псевдориманово многообразие (соответственно многообразие с аффинной связностью) Мназ. псевдоримановым (аффинным) глобально симметрическим пространством, если с каждой точкой [img: http://localhost:8080/file/041908-72.jpg] связана изометрия (аффинное преобразование) Sx многообразия Мтакая, что [img: http://localhost:8080/file/041908-73.jpg] и хесть изолированная неподвижная точка преобразования Sx. 4) Пусть G - связная группа Ли, Ф - ее инволю-тивный автоморфизм (Ф 2=id), G Ф - замкнутая подгруппа всех Ф-неподвижных точек, [img: http://localhost:8080/file/041908-74.jpg] - компонента единицы группы [img: http://localhost:8080/file/041908-75.jpg] и Н-- замкнутая подгруппа в G, удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/041908-76.jpg] Тогда однородное пространство G/H наз. симметрическим однородным пространством. 5) Симметрическим пространством в смысле Лоса наз. многообразие М, на к-ром задано умножение [img: http://localhost:8080/file/041908-77.jpg] удовлетворяющее следующим четырем условиям: [img: http://localhost:8080/file/041908-78.jpg] г) для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041908-79.jpg] существует такая окрестность U, что [img: http://localhost:8080/file/041908-80.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041908-81.jpg] Каждое аффинное (псевдориманово) глобально симметрия, пространство является аффинным (псевдоримановым) локально симметрия, пространством и однородным С. п. Любое однородное С. п. есть аффинное глобально симметрич. пространство и симметрич. пространство в смысле Лоса. Всякое связное С. п. Лоса есть однородное С. п. Пусть М - связное С. п. Лоса, а значит и однородное пространство: M=G/H. Пространство G/H можно снабдить инвариантной аффинной связностью без кручения, обладающей следующими свойствами: 1) ковариантная производная тензора кривизны равна нулю, 2) каждая геодезическая g есть траектория нек-рой однопараметрич. подгруппы y группы G, и параллельный перенос векторов вдоль g совпадает с их трансляцией с помощью y; 3) геодезические замкнуты относительно умножения и наз. одномерными подпространствами. Аналогично вводится понятие произвольного подпространства Мкак такого подмногообразия Nв М, к-рое замкнуто относительно умножения и с индуцированным умножением является С. п. Замкнутое подмножество N в М, устойчивое относительно умножения, является подпространством. Аналог алгебры Ли для С. п. G/H вводится следующим образом. Пусть gи h - алгебры Ли групп Gи Н, а j=dФ e (дифференциал в единице), где Ф - инволютивный автоморфизм, определяющий симметрическое однородное пространство G/H. Собственные векторы эндоморфизма пространства j, соответствующие собственному значению -1, образуют подпространство ттакое, что gесть прямая сумма подпространств ти h. а тможно отождествить с касательным пространством к пространству G/H в точке о=Н. Если ввести в векторном пространстве m трилинейную композицию [img: http://localhost:8080/file/041908-82.jpg] где R - тензор кривизны, то т станет Ли тройной системой. Если N - подпространство пространства M, проходящее через точку о, то касательное пространство к Nв точке оесть подсистема в m и обратно. Если Месть С. п. Лоса, то произведение МХMтакже является С. п. Лоса. Пусть Rесть подпространство в МХМи отношение эквивалентности в М. Тогда Rназ. конгруэнцией. Это понятие используется для построения теории накрывающих для С. п. Две точки [img: http://localhost:8080/file/041908-83.jpg] наз. коммутирующими, если [img: http://localhost:8080/file/041908-84.jpg] Центром Z(М).пространства Мотносительно точки [img: http://localhost:8080/file/041908-85.jpg] наз. множество всех точек из М, к-рые коммутируют с точкой о. Центр Z(M).есть замкнутое подпространство в М, к-рое можно снабдить структурой абелевой группы. Пусть М - односвязное С. п. Тогда разыскание С. п., для к-рых Мявляется накрывающим пространством, сводится к классификации дискретных подгрупп группы Z(M). Большое внимание при построении теории С. п. уделяется вопросам классификации (см. [2]). Пусть М - локально симметрическое риманово пространство; оно наз. приводимым, если в нек-рой системе координат его основная квадратичная форма может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/041908-86.jpg] В противном случае пространство наз. неприводимым. Э. Картан (Е. Cartan) показал, что разыскание всех неприводимых локально симметрических римановых пространств сводится к классификации инволютивных автоморфизмов вещественных компактных алгебр Ли, и проделал эту классификацию. Вместе с тем была решена задача локальной классификации симметрических однородных пространств с простыми компактными основными группами. Получена классификация симметрических однородных пространств с простыми некомпактными основными группами (см. [2], [3], [5]).