Симплекс

- топологическое пространство | А|, точками к-рого служат неотрицательные функции [img: http://localhost:8080/file/041909-5.jpg], определенные на конечном множестве Аи удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/041909-6.jpg]. Топология в | А| полагается индуцированной из [img: http://localhost:8080/file/041909-7.jpg] - пространства всех функций из Ав [img: http://localhost:8080/file/041909-8.jpg]. Действительное число j(а) наз. а-й барицентрической координатой точки j, размерностью симплекса | А| наз. число car dA-1. В случае, когда Аявляется линейно независимым подмножеством евклидова пространства, симплекс | А| гомеоморфен выпуклой оболочке множества А(гомеоморфизм задается соответствием [img: http://localhost:8080/file/041909-9.jpg]). В связи с этим выпуклая оболочка линейно независимого подмножества евклидова пространства наз. евклидовым С. Для любого отображения [img: http://localhost:8080/file/041909-10.jpg] конечных множеств формула [img: http://localhost:8080/file/041909-11.jpg], определяет непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-12.jpg], являющееся для евклидовых С. аффинным (неоднородным линейным) отображением, продолжающим отображение f. Этим задается функтор из категории конечных множеств в категорию топологич. пространств. Если [img: http://localhost:8080/file/041909-13.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041909-14.jpg] - соответствующее вложение, то |i| - гомеоморфизм на замкнутое подмножество, наз. гранью симплекса | А| и обычно отождествляемое с |В|. Нульмерные грани наз. вершинами (как правило, вершины отождествляются с элементами множества А). Топологическим упорядоченным С. наз. топологич. пространство X, для к-рого задан гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041909-15.jpg], где Dn - стандартный симплекс. Образ граней Dn при гомеоморфизме hназ. гранью топологического упорядоченного симплекса X. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-16.jpg] топологических упорядоченных симплексов Xи Yназ. линейным, если оно имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041909-17.jpg], где kи h - заданные гомеоморфизмы, F - произвольное отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-18.jpg] вида |f|. Топологическим С. (размерности n) наз. топологич. пространство X, наделенное (n+1)! гомеоморфизмами [img: http://localhost:8080/file/041909-19.jpg] (то есть (n+1)! структурами топологического упорядоченного С.), отличающимися на гомеоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/041909-20.jpg] вида |f|, где f - произвольная перестановка вершин. Аналогично, отображение топологического С. наз. линейным, если оно является линейным отображением соответствующих топологических упорядоченных С. С. наз. также элементы симплициальных множеств и отмеченные подмножества симплициальных схем. А. В. Хохлов.