Симплектическая группа

одна из классических групп, определяемая как группа автоморфизмов знакопеременной билинейной формы Ф на левом К-модуле Е, где К - коммутативное кольцо. В случае, когда Е=К 2т и матрица формы Ф в канонич. базисе {е i} модуля Еимеет вид [img: http://localhost:8080/file/041909-40.jpg] где I т- единичная матрица порядка т, соответствующая С. г. называется С. г. от 2т переменных над кольцом Ки обозначается Sp(m, К).или Sp2m(K). Матрица любого автоморфизма из Sp2m(K) в базисе {е i} наз. симплектической матрицей. Пусть К - поле и Ф - невырожденная знакопеременная билинейная форма в n-мерном векторном пространстве Енад К. Тогда пчетно, ассоциированная с формой Ф С. г., изоморфная группе Sр n(K), порождается всевозможными линейными преобразованиями пространства Евида se,a, [img: http://localhost:8080/file/041909-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041909-42.jpg]. Линейные преобразования вида se,a наз. симплектическими трансвекциями, или сдвигами, в направлении прямой Ке. Центр Z группы Sр n(K) состоит из матриц In и - In, если char [img: http://localhost:8080/file/041909-43.jpg]; если же char K=2, то Z={I п}. Факторгруппа Spn(K)/Z наз. проективной симплектической группой и обозначается РSр n(K). Все проективные С. г. просты за исключением [img: http://localhost:8080/file/041909-44.jpg] к-рые изоморфны соответственно симметрич. группам S3 и S6 и знакопеременной группе A4 (через Fq обозначено поле из qэлементов). Порядок С. г. Sp2m (Fq).равен [img: http://localhost:8080/file/041909-45.jpg] С. г. Sр 2(K) совпадает со специальной линейной группой SL2 (К);если char [img: http://localhost:8080/file/041909-46.jpg], то группа PSp4 (К).изоморфна факторгруппе группы W5(K, f) по ее центру (где W5(K, f) - коммутант ортогональной группы симметрической билинейной формы f от пяти переменных индекса 2). За исключением случая т=2,char K=2, всякий автоморфизм j группы Sp2m (К).может быть представлен в виде [img: http://localhost:8080/file/041909-47.jpg] где t - автоморфизм поля [img: http://localhost:8080/file/041909-48.jpg] и h2 - ли- нейное преобразование пространства Е, представляющееся в базисе {е i} матрицей вида [img: http://localhost:8080/file/041909-49.jpg] (b - ненулевой элемент поля К). С. г. Sр 2m (К).совпадает с группой K-точек линейной алгебраич. группы Sp2m, задаваемой уравнением [img: http://localhost:8080/file/041909-50.jpg]. Эта алгебраич. группа, тоже называемая С. г., является простой односвязной линейной алгебраич. группой типа С m, ее размерность равна 2т 2+т. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041909-51.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041909-52.jpg], С. г. Sp2m (К).есть связная односвязная простая комплексная (соответственно вещественная) группа Ли. Группа [img: http://localhost:8080/file/041909-53.jpg] является одной из вещественных форм комплексной С. г. [img: http://localhost:8080/file/041909-54.jpg]. Остальные вещественные формы этой группы тоже иногда называют С. г. Это - подгруппы [img: http://localhost:8080/file/041909-55.jpg], выделяемые из группы [img: http://localhost:8080/file/041909-56.jpg] условием сохранения эрмитовой формы вида [img: http://localhost:8080/file/041909-57.jpg] где ei=1 при [img: http://localhost:8080/file/041909-58.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041909-59.jpg] и ei=-1 при остальных i. Группа Sp (0, т) - компактная вещественная форма комплексной С. г. [img: http://localhost:8080/file/041909-60.jpg]. С. г. Sp(p, q).изоморфна группе всех линейных преобразований правого векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/041909-61.jpg] над телом кватернионов [img: http://localhost:8080/file/041909-62.jpg] размерности т=р+q, к-рые сохраняют кватернионную эрмитову форму индекса min(p, q), то есть форму вида [img: http://localhost:8080/file/041909-63.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041909-64.jpg] а черта означает переход к сопряженному кватерниону.