Симплектическое пространство однородное

- симплектическое многообразие (М, w) вместе с транзитивной группой Ли G его автоморфизмов. Элементы алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041909-80.jpg] группы G можно рассматривать как симплектические векторные поля на М, т. е. поля X, сохраняющие симплектическую 2-форму w: [img: http://localhost:8080/file/041909-81.jpg] где точкой обозначена производная Ли, iX - оператор внутреннего умножения на X, d - внешний дифференциал. С. п. о. наз. строго симплектическим, если все поля [img: http://localhost:8080/file/041909-82.jpg] гамильтоновы, то есть iXw=dHX, где HX функция на М(гамильтониан поля X), причем гамильтониан HX можно выбрать так, чтобы отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-83.jpg] было гомоморфизмом алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041909-84.jpg] в алгебру Ли функций на Мотносительно скобки Пуассона. Примером строго С. п. о. является орбита [img: http://localhost:8080/file/041909-85.jpg] группы Ли G относительно коприсоединенного представления Ad*G группы G в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041909-86.jpg] линейных форм на [img: http://localhost:8080/file/041909-87.jpg], проходящая через произвольную точку [img: http://localhost:8080/file/041909-88.jpg]. Инвариантная симплектическая 2-форма w на М a задается формулой [img: http://localhost:8080/file/041909-89.jpg] где Xb, Yb - значения векторных полей [img: http://localhost:8080/file/041909-90.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/041909-91.jpg]. Поле [img: http://localhost:8080/file/041909-92.jpg] имеет гамильтониан Н X(b).b(Х). Для произвольного строго С. п. о. (М,w, G) определено G-эквивариантное отображение момента [img: http://localhost:8080/file/041909-93.jpg] к-рое отображает Мна орбиту m(М).группы G в [img: http://localhost:8080/file/041909-94.jpg] и является локальным изоморфизмом симплектич. многообразий. Таким образом, любое строго С. п. о. группы G является накрытием над орбитой группы G в коприсоединенном представлении. Односвязные С. п. о. с односвязной, но не обязательно эффективно действующей группой автоморфизмов G находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами естественного действия группы G в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041909-95.jpg] замкнутых 2-форм на ее алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/041909-96.jpg]. Соответствие определяется следующим образом: ядро [img: http://localhost:8080/file/041909-97.jpg] любой 2-формы [img: http://localhost:8080/file/041909-98.jpg] является подалгеброй алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041909-99.jpg]. Соответствующая [img: http://localhost:8080/file/041909-100.jpg] связная подгруппа К s. группы Ли G замкнута и определяет одно-связное однородное пространство М s.= G/Кs. Форма а задает невырожденную 2-форму в касательном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041909-101.jpg] точки о=еКs. многообразия М s, к-рая продолжается до G-инвариантной симплектич. формы ws на М s. Таким образом, форме а отвечает односвязное С. п. о. (М s, ws). Если [img: http://localhost:8080/file/041909-102.jpg] не содержит идеалов алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041909-103.jpg], то действие G на М s локально эффективно. С. п. о. М s. и М s' изоморфны тогда и только тогда, когда формы s, s' принадлежат одной орбите группы G в [img: http://localhost:8080/file/041909-104.jpg]. Для точной 2-формы s=da. С. п. о. М s. отождествляется с универсальной накрывающей С. п. о. М a, являющегося орбитой точки a в коприсоединенном представлении. Если [img: http://localhost:8080/file/041909-105.jpg], то орбита Gs любой точки [img: http://localhost:8080/file/041909-106.jpg] канонически снабжается структурой С. п. о. и любое С. п. о. односвязной группы G изоморфно накрытию над одной из таких орбит. В частности, М s. есть универсальная накрывающая орбиты Gs. Пусть (М, w) - компактное С. п. о. односвязной связной группы G, действующей локально эффективно. Тогда G есть прямое произведение полупростой компактной группы Sи разрешимой группы R, разлагающейся в полупрямое произведение абелевой подгруппы и абелева нормального делителя, а С. п. о. (М, w) разлагается в прямое произведение С. п. о. с группами автоморфизмов Sи R соответственно. Частным случаем С. п. о. является симплектическое групповое пространство - группа Ли вместе с левоинвариантной симплектич. формой w. Известно, что из редуктивности группы Ли, допускающей левоинвариантную симметрич. форму, следует ее коммутативность, а из унимодулярности - разрешимость. Все такие группы размерности [img: http://localhost:8080/file/041909-107.jpg] разрешимы, но начиная с размерности 6 существуют неразрешимые симплек-тические групповые пространства [3].