Симплициальная схема

(прежние названия - симплициальный комплекс, абстрактный симплициальный комплекс) - множество, элементы к-рого наз. вершинами и в к-ром выделены такие конечные непустые подмножества, наз. симплексами, что каждое непустое подмножество симплекса s является симплексом, наз. гранью симплекса s, и каждое одноэлементное подмножество является симплексом. Симплекс наз. q- мерным, если он состоит из q+1 вершин. Размерностью dim K симплициальной схемы Кназ. максимальная размерность ее симплексов (она может быть и бесконечной). С. с. наз. локально конечной, если каждая ее вершина принадлежит лишь конечному числу симплексов. С. с. наз. упорядоченной, если на ней задано частичное упорядочение, линейное на каждом симплексе. Пример С. с. Пусть X - множество и U= [img: http://localhost:8080/file/041909-108.jpg] - нек-рое семейство его непустых подмножеств. Непустое конечное подмножество [img: http://localhost:8080/file/041909-109.jpg] наз. симплексом, если множество [img: http://localhost:8080/file/041909-110.jpg] непусто. Получающаяся С. с. Аназ. нервом семейства U. Симплициальным отображением С. с. K1 в симплициальную схему К 2 наз. такое отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-111.jpg], что для каждого симплекса s в С. с. К 1 его образ f(s) является симплексом в С. с. К 2. С. с. и их симшшциальные отображения составляют категорию. Если симплициальное отображение [img: http://localhost:8080/file/041909-112.jpg] является вложением, то С. с. Lназ. симплициальной подсхемой С. с. К. Все симплексы С. с. Кразмерности, меньшей или равной n, составляют симплициальную подсхему С. с. К, к-рая обозначается К n и наз. n-мерным (или n-м) остовом С. с. К. Симплициальная подсхема LС. с. Кназ. полной, если каждый симплекс в К, все вершины к-рого принадлежат L, сам лежит в L. Каждой С. с. Кканонически сопоставляется симплициальное множество О (К), симплексами размерности пк-рого являются (п+1)-членные последовательности (x0,..., х п).вершин С. с. К, обладающие тем свойством, что в Ксуществует такой симплекс s, что [img: http://localhost:8080/file/041909-113.jpg] для любого i=0,1,...,n. Операторы граней di и вырождения si этого симплициального множества определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/041909-114.jpg] где знак [img: http://localhost:8080/file/041909-115.jpg] означает, что символ, стоящий под ним, опускается. Для упорядоченной С. с. Копределено симплициальное подмножество [img: http://localhost:8080/file/041909-116.jpg], состоящее из тех симплексов (х 0,..., х п), для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041909-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041909-118.jpg]. Группы (ко)гомологий симплициального множества О(К).изоморфны группам (ко)гомологий симплициального множества О + (К).и наз. группами (ко)гомологий С. с. Каждому симплициальному разбиению (симплициальному пространству) Xотвечает С. с. симплициального разбиения, вершинами к-рой являются вершины разбиения X, а симплексами - те непустые конечные множества вершин, на к-рые в Xнатянут симплекс. Для каждой С. с. Ксуществует однозначно определенное с точностью до изоморфизма симплициальное разбиение, С. с. к-рого является К. Оно наз. геометрической реализацией (или телом) С. с. Ки обозначается | К|. Им является геометрич. реализация в смысле Дживера - Ху (см. Симплициальное множество) ||О (К)|| симплициального множества О(К), а если С. с. Купорядочена - геометрич. реализация в смысле Милнора | О + (К)|симплициального множества О + (К). Соответствие К [img: http://localhost:8080/file/041909-119.jpg] ||О (К)|| является ковариантным функтором из категории С. с. в категорию клеточных разбиений (клеточных пространств). Топологич. пространство X, гомеоморфное толу | К| нек-рой С. с. К, наз. полиэдром (а также триангулируемым пространством), а пара (К, f), где [img: http://localhost:8080/file/041909-120.jpg] - гомеоморфизм, наз. триангуляцией пространства X. Точки топологич. пространства | К| можно отождествить с функциями [img: http://localhost:8080/file/041909-121.jpg], для к-рых множество [img: http://localhost:8080/file/041909-122.jpg] является симплексом в Ки [img: http://localhost:8080/file/041909-123.jpg] Число a(х).наз. х-й барицентрической координатой точки a. Формула [img: http://localhost:8080/file/041909-124.jpg] определяет на множестве | К| метрику, но соответствующая метрич. топология, вообще говоря, сильнее топологии пространства | К|. Множество | К|, снабженное метрич. топологией, обозначается | К|d. С. с. Кизоморфна нерву семейства звезд вершин пространства | К|, т. е. открытых подмножеств Stx= [img: http://localhost:8080/file/041909-125.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041909-126.jpg]. Следующие утверждения равносильны: 1) С. с. Клокально конечна; 2) пространство | К| локально компактно; 3) |K|-|K|d;4) пространство | К| метризуемо; 5) пространство | К| удовлетворяет первой аксиоме счетности. Пространство | К| сепарабельно (компактно) тогда и только тогда, когда С. с. Кне более чем счетна (конечна). Клетки клеточного разбиения | К| находятся в биективном соответствии с симплексами С. с. | К|, и замыкание |s| клетки, соответствующей симплексу s, определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041909-127.jpg] Оно гомеоморфно q-мерному (q=dims) замкнутому шару (так что клеточное разбиение | К| регулярно). Более того, на каждом множестве |s| имеется канонич. линейная (аффинная) структура, по отношению к к-рой оно изоморфно стандартному симплексуDq. Отсюда и из того, что [img: http://localhost:8080/file/041909-128.jpg] для любых симплексов [img: http://localhost:8080/file/041909-129.jpg], вытекает, что пространство | К| может быть гомеоморфно отображено (вложено) в пространство [img: http://localhost:8080/file/041909-130.jpg] (возможно, с трансфинитным п).так, чтобы все замкнутые клетки |s| оказались (прямолинейными) симплексами. Это означает, что образ | К| в [img: http://localhost:8080/file/041909-131.jpg] является симплициальным пространством (полиэдром), т. е. объединением замкнутых симплексов, пересекающихся только по целым граням. Это симплициальное пространство наз. реализацией С. с. Кв [img: http://localhost:8080/file/041909-132.jpg]. С. с. Ктогда и только тогда реализуется в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041909-133.jpg] с конечным п, когда С. с. Клокально конечна, не более чем счетна и ее размерность конечна. При этом, если [img: http://localhost:8080/file/041909-134.jpg], то Креализуется в [img: http://localhost:8080/file/041909-135.jpg]. С. с., состоящая из 2n+3 вершин, каждое (n+1) -элементное подмножество к-рой является симплексом, в [img: http://localhost:8080/file/041909-136.jpg] не реализуется. По любой С. с. Кможно построить новую С. с. Bd К, вершинами к-рой являются симплексы С. с. К, а симплексами - такие семейства (s0,..., sq). симплексов из К, что [img: http://localhost:8080/file/041909-137.jpg]. С. с. ВdКназ. барицентрическим измельчением (или подраз делением) С. с. К Клеточные пространства |BdK| и | К| естественно гомеоморфны (но не изоморфны). При этом гомеоморфизме каждая вершина |s| из |BdK| (т. С. с. ВdКестественным образом упорядочена. Если С. с. Купорядочена, то соответствие [img: http://localhost:8080/file/041910-3.jpg] (первая вершина s) определяет симплициалъное отображение [img: http://localhost:8080/file/041910-4.jpg], сохраняющее упорядоченность. Оно наз. каноническим сдвигом. Его геометрич. реализация (являющаяся непрерывным отображением [img: http://localhost:8080/file/041910-5.jpg]) гомотопна естественному гомеоморфизму [img: http://localhost:8080/file/041910-6.jpg]. Симплициальное отображение [img: http://localhost:8080/file/041910-7.jpg] (или его геометрич. реализация [img: http://localhost:8080/file/041910-8.jpg]) наз. симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения [img: http://localhost:8080/file/041910-9.jpg], если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041910-10.jpg] точка [img: http://localhost:8080/file/041910-11.jpg] принадлежит минимальному замкнутому симплексу, содержащему точку f(a), т. е., что равносильно, если для каждой вершины [img: http://localhost:8080/file/041910-12.jpg] имеет место вложение [img: http://localhost:8080/file/041910-13.jpg]. При этом отображения f и |j| гомотопны. Теорема о симплициальной аппроксимации утверждает, что если С. с. Кконечна, то для каждого непрерывного отображения [img: http://localhost:8080/file/041910-14.jpg] найдется такое число N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041910-15.jpg] существует симплициальная аппроксимация [img: http://localhost:8080/file/041910-16.jpg] отображения f (рассматриваемого как отображение |BdnK| [img: http://localhost:8080/file/041910-17.jpg] |L|).