Сингулярная функция

- отличная от постоянной непрерывная ограниченной вариации функция, производная к-рой почти всюду на рассматриваемом отрезке равна нулю. С. ф. входят в качестве слагаемых в Лебега разложение функций ограниченной вариации. Напр., всякая непрерывная функция ограниченной вариации f(x).на отрезке [а, b]единственным образом представима в виде суммы f(x).j(х)+r (х), где j(х).- абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая условию j(а)=f(а), a r(x).есть С. ф. или тождественный нуль. П ример. Пусть Х=[0, 1]. Любое [img: http://localhost:8080/file/041911-1.jpg] может быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/041911-2.jpg] где ai=0, 1 или 2, i=l, 2,... При этом если [img: http://localhost:8080/file/041911-3.jpg], где С - канторово множество, то ai=0 или 2, t=l, 2,.... Пусть п=п (х)-первый индекс, при к-ром an=1; если таких индексов нет, то полагают [img: http://localhost:8080/file/041911-4.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/041911-5.jpg] является монотонной С. ф.