Сингулярный интеграл

интеграл [img: http://localhost:8080/file/041911-94.jpg] с особенностью в точке х, определенный для интегрируемой на [a, b]функции f(x), ядро к-рого Ф n(t, х).удовлетворяет условиям: для любого d>0 и произвольного интервала [img: http://localhost:8080/file/041911-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041911-96.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041911-97.jpg] причем Ф x(d) зависит только от d и хи не зависит от п. Если условия (1), (2) и (3) выполняются равномерно на x-множестве [img: http://localhost:8080/file/041911-98.jpg], то интеграл In(f, х).наз. равномерно сингулярным на Е. Наиболее изучены свойства т. н. положительных ядер (Ф n(t, х) [img: http://localhost:8080/file/041911-99.jpg] 0), Дирихле ядер [img: http://localhost:8080/file/041911-100.jpg] ядер Фейера [img: http://localhost:8080/file/041911-101.jpg] ядер Пуассона - Абеля [img: http://localhost:8080/file/041911-102.jpg] ядер, порожденных различными методами суммирования ортогональных разложений по ортонормирован-ным полиномам. Понятие "С. и." введено А. Лебегом [1], указавшим на его важность при исследовании вопросов сходимости. Так, к исследованию сходимости С. и. приводят вопросы сходимости и суммируемости тригонометрич. рядов Фурье, рядов по ортогональным многочленам, а также разложений по общим ортогональным системам. А. Лебегом был установлен критерий сходимости С. и. для непрерывных функций f(х).с ограниченной вариацией. Д. К. Фаддеев [2] установил необходимые и достаточные условия для сходимости С. и. в точках Лебега суммируемой функции f(x). Так как данные А. Лебегом и Д. К. Фаддеевым условия сходимости С. и. трудно проверяемы для конкретных С. и., то целый ряд работ был посвящен отысканию эффективных достаточных условий сходимости С. и. как в отдельных точках, так и для равномерной сходимости. Для сходимости С. и. в точках непрерывности достаточна ограниченность нормы оператора In(f, х), т. е. ограниченность интеграла [img: http://localhost:8080/file/041912-1.jpg] а для сходимости в точках Лебега необходимо существование т. н. "горбатой мажоранты" для ядра Ф n(t, х), т. е. такой интегрируемой функции [img: http://localhost:8080/file/041912-2.jpg], к-рая монотонно возрастает на [ а, х), монотонно убывает на (х, b]и для почти всех [img: http://localhost:8080/file/041912-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041912-4.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/041912-5.jpg]