Синус гордона уравнение

Sinе-Gоrdоn уравнение,- релятивистски инвариантное уравнение, в пространственно-временных переменных имеющее вид [img: http://localhost:8080/file/041913-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041913-8.jpg] (A) Название предложено М. Крускалом по аналогии с линейным Клейна- Гордона уравнением (где вместо sin истоит и). В характеристических (светоподобных) переменных С. Г. у. выглядит так: [img: http://localhost:8080/file/041913-9.jpg] (B) Как в случае (А), так и в случае (В) С. Г. у. допускает представление Лакса [img: http://localhost:8080/file/041913-10.jpg] с линейными операторами Lи М, что позволяет применить к нему метод обратной задачи рассеяния ([L, M]=LM-ML). Задача Коши для С. Г. у. формулируется следующим образом. Случай (А): [img: http://localhost:8080/file/041913-11.jpg] Случай (В): [img: http://localhost:8080/file/041913-12.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/041913-13.jpg] - пространство Шварца быстроубывающих функций. Задачи Коши (А) и (В) при нек-рых дополнительных ограничениях на начальные данные однозначно разрешимы в указанных классах, и множества их решений совпадают. Эволюция данных рассеяния соответствующих L-операторов дается явными формулами, а решения и(х, t).и и(s, t) находятся с помощью интегральных уравнений типа Гельфанда - Левитана - Марченко. Периодич. задача для С. Г. у. может быть исследована с помощью алгебро-геометрич. метода (подобно тому, как это делается для Кортевега - де Фриса уравнения);в частности, получены явные выражения для конечнозонных решений С. Г. у. через q-функции на соответствующих абелевых многообразиях. Гамильтонова формулировка С. Г. у. заключается в том, что, напр., в случае (А) оно представляет собой гамильтонову систему с гамильтонианом [img: http://localhost:8080/file/041913-14.jpg] и симплектич. формой [img: http://localhost:8080/file/041913-15.jpg] Эта система является вполне интегрируемой, и переход от переменных u и p к данным рассеяния соответствующего оператора Lявляется канонич. преобразованием к переменным типа действие-угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряженными переменными трех типов: [img: http://localhost:8080/file/041913-16.jpg] Полная энергия P0 и полный импульс [img: http://localhost:8080/file/041913-17.jpg] поля ив новых переменных выглядят следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041913-18.jpg] В случае (В) также получается вполне интегрируемая гамильтонова система. Одно из приложений к квантовой теории поля. Пусть и(х, t).- скалярное поле с лагранжианом [img: http://localhost:8080/file/041913-19.jpg] (здесь у - константа связи). С. Г. у. является уравнением Эйлера - Лагранжа для этого лагранжиана. При квазиклассич. квантовании поля иосновную роль играют приведенные выше выражения для Р 0 и Р 1. Первые члены в правых частях указанных формул отвечают частицам с массой т- частицам основного поля. Переменным второго и третьего типов соответствуют локализованные решения С. Г. у.- солитоны и двойные солитоны с массами Ми 2Мsin q. Система обладает законом сохранения (топологич. заряд): [img: http://localhost:8080/file/041913-20.jpg] Частицы первого и третьего типов имеют заряд, равный 0, а у частиц второго типа заряд равен + 1. Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с разными зарядами - притягиваются. Наличие бесконечного числа законов сохранения означает, что при рассеянии сохраняются количества частиц каждого типа; n-частичная S-матрица сводится к парным S-матрицам. С помощью интеграла по траекториям можно вычислить квантовые поправки к массам и к квазиклассической S-матрице солитонов. Одним из нетривиальных свойств указанной модели является появление целого спектра частиц (солитонов), в то время как лагранжиан теории содержит только одно поле. Кроме того, в приближении слабого взаимодействия (т. е. когда g мало) солитоны - тяжелые частицы и сильно взаимодействуют.