Скачкообразный процесс

случайный процесс, к-рый изменяет свое состояние только в случайные моменты времени, образующие возрастающую последовательность. Иногда термин "С. п." относят к любому процессу с кусочно постоянными траекториями. Важный класс С. п. образуют марковские С. п. Марковский процесс является С. п., если его переходная функция P(s, x, t, В).такова, что [img: http://localhost:8080/file/041913-49.jpg] где Ib(x) - индикатор множества Вв фазовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041913-50.jpg], и выполнены условия регулярности, заключающиеся в том, что сходимость в (1) равномерна и ядро q(s, х, В).удовлетворяет нек-рым требованиям ограниченности и непрерывности. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041913-51.jpg] и П (t, х, В)=0 -в противном случае. Введенные величины допускают следующую интерпретацию: с точностью до о(Dt) (при [img: http://localhost:8080/file/041913-52.jpg]) a(t, x)Dt есть вероятность того, что в промежуток времени (t, t+Dt). процесс покинет состояние х; П(f, х, В), когда a(t, x)>0, есть условная вероятность попадания процесса во множество В при условии, что в момент tон покидает состояние x. При выполнении условий регулярности переходная функция С. п. дифференцируема по tпри t>s,no sпри s<t и удовлетворяет прямому и обратному уравнениям Колмогорова с соответствующими граничными условиями: [img: http://localhost:8080/file/041913-53.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041913-54.jpg] - непрерывный справа строго марковский С. п., Т n - момент n-го скачка процесса, T0=0, Yn=XTn,Sn - время пребывания в n-м состоянии, [img: http://localhost:8080/file/041913-55.jpg] - момент обрыва, [img: http://localhost:8080/file/041913-56.jpg], где d - точка вне Е. Тогда последовательность (Т п, Yn).образует однородную цепь Маркова. При этом если X - однородный марковский процесс, то распределение Sn при заданном Yn=x - показательное с параметром l(x). Естественным обобщением марковских С. п. являются полумарковские С. п., для к-рых последовательность (УД) является цепью Маркова, однако время пребывания в n-м состоянии зависит от Yn и Yn+1 и имеет произвольное распределение. При исследовании общих С. п. оказался плодотворным т. н. мартингальный подход. В рамках итого подхода удается получить содержательные результаты без дополнительных предположений о вероятностной структуре С. п. При мартингальном подходе предполагается, что на вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041913-57.jpg] где задан С. п. X, фиксировано неубывающее непрерывное справа семейство s-алгебр [img: http://localhost:8080/file/041913-58.jpg], причем для каждого tслучайная величина Х t является [img: http://localhost:8080/file/041913-59.jpg] - измеримой и, значит, моменты Т n- марковскими. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041913-60.jpg] - предсказуемая s-алгебра на [img: http://localhost:8080/file/041913-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041913-62.jpg]. Случайная мера hна [img: http://localhost:8080/file/041913-63.jpg] наз. предсказуемой, если для любой неотрицательной [img: http://localhost:8080/file/041913-64.jpg] - измеримой функции f процесс [img: http://localhost:8080/file/041913-65.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041913-66.jpg] является предсказуемым. Пусть m=m(dt, dx) - мера скачков процесса X, т. е. целочисленная случайная мера на [img: http://localhost:8080/file/041913-67.jpg], определенная равенством [img: http://localhost:8080/file/041913-68.jpg] При весьма широких предположениях на [img: http://localhost:8080/file/041913-69.jpg] (выполненных, в частности, когда Е - полное сепара-бельнос метрич. пространство с борелевской s-алгеброй [img: http://localhost:8080/file/041913-70.jpg]) существует предсказуемая случайная мера v=v(dt, dx).такая, что имеет место любое из следующих двух эквивалентных условий: 1) [img: http://localhost:8080/file/041913-71.jpg] для любой неотрицательной [img: http://localhost:8080/file/041913-72.jpg] -измеримой функции f; 2) при любых [img: http://localhost:8080/file/041913-73.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041913-74.jpg] процесс [img: http://localhost:8080/file/041913-75.jpg] является мартингалом, выходящим из нуля. Предсказуемая случайная мера v определена однозначно с точностью до множества Р-меры нуль н наз. компенсатором (или дуальной предсказуемой проекцией) m. Можно выбрать такой вариант v, что [img: http://localhost:8080/file/041913-76.jpg] Пусть W - пространство траекторий С. п. X, принимающих значения в [img: http://localhost:8080/file/041913-77.jpg], Р 0 - вероятностная мера, для к-рой выполнено (2). Тогда на [img: http://localhost:8080/file/041913-78.jpg] найдется и притом единственная вероятностная мера Ртакая, что v является компенсатором m относительно Ри сужение Рна [img: http://localhost:8080/file/041913-79.jpg] совпадает с Р 0. Доказательство этого утверждения опирается на явную формулу, связывающую условные распределения величин (Т п, Yn).и компенсатор, к-рый в ряде случаев оказывается более удобным средством для описания С. п. С. п. является процессом с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда ему отвечает детерминированный компенсатор.