Склеивания теоремы

- теоремы, к-рые устанавливают существование аналитич. ций, подчиненных определенным соотношениям на границе области. Теорема склеивания Лаврентьева [1]: какова бы ни была аналитич. ция х=j(x), определенная на сегменте [ -1,1], j(±1)= ±1, j'(x)>0, можно построить две аналитич. ции f1 (z, h). и f2(z, h),z=x+iy, h=const, отображающие однолистно и конформно прямоугольник | х|<1, -h<y<0 и прямоугольник | х|<1, 0<y<h соответственно на области D1 и D2 без общих точек так, что f1(x, h) = f2 (j(х), h). Эта С. т. была использована (см. [6]) для доказательства теоремы о существовании функции w=f(z), f(0)=0, f(1)=1, осуществляющей квазиконформное отображение круга [img: http://localhost:8080/file/041914-1.jpg] на круг [img: http://localhost:8080/file/041914-2.jpg] и обладающей почти всюду заданной характеристикой h(z), где [img: http://localhost:8080/file/041914-3.jpg] h(z) - измеримая функция, определенная почти для всех [img: http://localhost:8080/file/041914-4.jpg]. С. т., являющаяся видоизменением С. т. Лаврентьева, была также использована при решении вопроса о конформном отображении односвязной римановой поверхности на однолистный круг [5]. Были получены и другие С. т. (см. [2]), сыгравшие важную роль в теории римановых поверхностей (при этом брались более слабые ограничения на функцию типа x1=j(x)). Имеет место следующая С. т. (см. [3], [5]): пусть на окружности |z|=l дана дуга g1 с концами аи b, [img: http://localhost:8080/file/041914-5.jpg], и на g1 задана функция g(z), обладающая свойствами: 1) она регулярна во всех внутренних точках дуги g1 и в них [img: http://localhost:8080/file/041914-6.jpg]; 2) функция z1=g(z).устанавливает взаимно однозначное отображение дуги g1 на дополнительную дугу g2 на |z|=l c сохранением концов аи b;тогда существует функция [img: http://localhost:8080/file/041914-7.jpg] регулярная в [img: http://localhost:8080/file/041914-8.jpg], за исключением точек 0, аи b, и во внутренних точках дуги g1 удовлетворяющая соотношению F(z)=F(g(z)). Доказано также существование функции F(z), однолистной в |z|<l (см. [4], гл. 2).