Слабый относительный минимум

минимальное значение [img: http://localhost:8080/file/041914-80.jpg], достигаемое функционалом J(у).на кривой [img: http://localhost:8080/file/041914-81.jpg], такое, что [img: http://localhost:8080/file/041914-82.jpg] для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих условию e-близости 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041914-83.jpg] (1) на всем промежутке [x1, х 2]. Предполагается, что кривые [img: http://localhost:8080/file/041914-84.jpg] удовлетворяют заданным граничным условиям. Если в (1) отбросить условие e-близости но производной, то это приведет к условию e-близости нулевого порядка. Минимальное значение функционала [img: http://localhost:8080/file/041914-85.jpg] в e-окрестности нулевого порядка наз. сильным относительным минимумом. Поскольку условие e-близости нулевого порядка выделяет более широкий класс кривых по сравнению с условием e-близости 1-го порядка, всякий сильный относительный минимум является одновременно С. о. м., но не всякий С. о. м. является сильным относительным минимумом. Для того чтобы экстремаль [img: http://localhost:8080/file/041914-86.jpg] доставляла С. о. м., необходимо, чтобы на ней выполнялось Лежандра условие. Для сильного относительного минимума вместо условия Лежандра необходимо выполнение более общего Вейерштрасса условия. В терминах теории оптимального управления это различие в формулировках необходимых условий означает следующее: для С. о. м. необходимо, чтобы Гамильтона функция в точках экстремали достигала локального максимума, а для сильного минимума - абсолютного максимума по управлению (в соответствии с принципом максимума Понтрягина). Достаточные условия С. о. м. налагают нек-рые требования только на экстремаль [img: http://localhost:8080/file/041914-87.jpg], тогда как в случае сильного минимума требуется выполнение сходных по смыслу условий не только на экстремали [img: http://localhost:8080/file/041914-88.jpg], но и в нек-рой ее e-окрестности нулевого порядка. Экстремаль доставляет С. о. м., если вдоль нее выполняется усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби. Экстремаль доставляет сильный относительный минимум, если она может быть окружена полем экстремалей и для всех точек этого поля функция Вейерштрасса неотрицательна.