Случайная величина

одно из основных понятий теории вероятностей. Роль понятий С. в. и ее математического ожидания впервые ясно оценил П. Л. Чебышев (1867, см. [1]) Понимание того факта, что понятие С. в. есть частный случай общего понятия функции, пришло значительно позднее. Полное и свободное от всяких излишних ограничений изложение основ теории вероятностей на основе теории меры дано А. Н. Колмогоровым (1933, см. [2]); оно сделало совершенно очевидным, что С. в. есть ни что иное, как измеримая функция на каком-либо вероятностном пространстве. Это обстоятельство весьма важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей. В учебной литературе эта точка зрения последовательно проведена впервые У. Феллером (см. предисловие к [3], где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о С. в. становится содержательным). Пусть [img: http://localhost:8080/file/051930-1.jpg] - вероятностное пространство. Однозначную действительную функцию [img: http://localhost:8080/file/051930-2.jpg], определенную на [img: http://localhost:8080/file/051930-3.jpg], наз. случайной величиной, если при любом действительном хмножество [img: http://localhost:8080/file/051930-4.jpg] входит в класс [img: http://localhost:8080/file/051930-5.jpg]. Пусть X - какая-либо С. в. и [img: http://localhost:8080/file/051930-6.jpg] - класс тех [img: http://localhost:8080/file/051930-7.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/051930-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051930-9.jpg] это будет [img: http://localhost:8080/file/051930-10.jpg] -алгебра. Класс [img: http://localhost:8080/file/051930-11.jpg] всех борелевских подмножеств числовой прямой R1 во всяком случае содержится в [img: http://localhost:8080/file/051930-12.jpg]. Меру Р Х,определенную на [img: http://localhost:8080/file/051930-13.jpg] равенством [img: http://localhost:8080/file/051930-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051930-15.jpg], наз. распределением вероятностей С. в. X. Эта мера однозначно определяется по распределения функции С. в. X, т. е. по функции [img: http://localhost:8080/file/051930-16.jpg] Значения вероятностей [img: http://localhost:8080/file/051930-17.jpg] (т. е. значения меры, служащей продолжением распределения Р Х на [img: http://localhost:8080/file/051930-18.jpg] -алгебру [img: http://localhost:8080/file/051930-19.jpg]) по функции распределения FX однозначно, вообще говоря, не определяются (достаточным для такой однозначности является т. н. условие совершенности меры Р, см. Совершенная мера, а также [4]). Указанное обстоятельство надо постоянно иметь в виду (напр., при доказательстве того, что распределение С. в. однозначно определяется по его характеристической функции). Если С. в. X принимает конечное или счетное число попарно различных значений х 1, х2,..., х п,... с вероятностями [img: http://localhost:8080/file/051930-20.jpg] то ее распределение вероятностей (называемое в этом случае дискретным) задается формулой [img: http://localhost:8080/file/051930-21.jpg] Распределение С. в. X наз. непрерывным, если существует функция [img: http://localhost:8080/file/051930-22.jpg] (плотностьвероятности) такая, что [img: http://localhost:8080/file/051930-23.jpg] для всякого интервала В(или, это то же самое, для любого борелевского множества В). В обычной терминологии математич. анализа это означает абсолютную непрерывность Р Х по отношению к мере Лебега на R1. Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик. При этом медиана и квантили имеют то преимущество, что они определены для любых распределений, хотя наиболее употребительны математическое ожидание [img: http://localhost:8080/file/051930-24.jpg] и дисперсия DXС. в. X. См. также Вероятностей теория. Комплексная С. в. Xопределяется парой действительных С. в. Х 1 и Х 2 по формуле [img: http://localhost:8080/file/051930-25.jpg] Упорядоченный набор (Х 1,..., Xs)С. в. можно рассматривать как случайный вектор со значениями в R s. Обобщением понятия С. в. на бесконечномерный случай служит понятие случайного элемента. Следует отметить, что в нек-рых задачах математич. анализа и теории чисел целесообразно рассматривать участвующие в их формулировках функции как С. в., определенные на подходящих вероятностных пространствах (см., напр., [5]).